Calcule as integrais dos exercícios 57-62 multiplicando por uma forma de 1 e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão:

61)

∫ 1 1 - sec ⁡ x   d x

Passo 1

Faaaala, cara Tranquileba??

Seguinte... Chega junto que vamos desbravar essa questão facinho

Vamos lá!!

Temos que:

∫ 1 1 - sec ⁡ x   d x

Passo 2

Façamos:

u = tan ⁡ x 2

Logo:

d u d x = 1 2 sec 2 ⁡ x 2

Com essa transformação. Temos que:

sin ⁡ x = 2 u u 2 + 1

cos ⁡ x = 1 - u 2 u 2 + 1

d x = 2 d u u 2 + 1

Realizando as substituições, temos:

∫ 2 u 2 + 1 1 - u 2 + 1 1 - u 2   d u

Temos que:

2 u 2 + 1 1 - u 2 + 1 1 - u 2 = u 2 - 1 u 4 + u 2

Assim ficando:

∫ u 2 - 1 u 4 + u 2   d u

Também temos que:

u 2 - 1 u 4 + u 2 = 2 u 2 + 1 - 1 u 2

Assim podemos fazer:

∫ 2 u 2 + 1 - 1 u 2 d u =

2 ∫ 1 u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 d u  

Passo 3

Fazendo cada integral separadamente, temos:

Para a primeira:

2 ∫ 1 u 2 + 1   d u

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 x 2 + 1   d x = tan - 1 ⁡ x + C

Assim:

2 ∫ 1 u 2 + 1   d u = 2   t a n - 1 u + C

E para a segunda:

∫ 1 u 2 d u =

- 1 u + C

Assim, somando-as temos:

2 tan - 1 ⁡ ( u ) - - 1 u + C

Lembrando que:

u = tan ⁡ x 2  

Concluímos, portanto que:

∫ 1 1 - sec ⁡ x   d x = 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ x 2 + 1 tan ⁡ x 2 + C

Que também pode ser escrito por:

∫ 1 1 - sec ⁡ x   d x = x + cot ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ 1 1 - sec ⁡ x   d x = x + cot ⁡ x 2 + C