Calcule as integrais dos exercícios 57-62 multiplicando por uma forma de 1 e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão:

57)

∫ 1 1 + sin ⁡ x   d x

Passo 1

Faaaala, cara Tranquileba??

Seguinte... Chega junto que vamos desbravar essa questão facinho

Vamos lá!!

Temos que:

∫ 1 1 + sin ⁡ x   d x

Passo 2

Façamos:

u = tan ⁡ x 2

Logo:

d u d x = 1 2 sec 2 ⁡ x 2

Com essa transformação. Temos que:

sin ⁡ x = 2 u u 2 + 1

cos ⁡ x = 1 - u 2 u 2 + 1

d x = 2 d u u 2 + 1

Realizando as substituições, temos:

∫ 2 u 2 + 1 2 u u + 1 + 1   d u

Temos que:

2 u 2 + 1 2 u u + 1 + 1 = 2 u 2 + 2 u + 1

Assim ficando:

∫ 2 u 2 + 2 u + 1   d u

Também temos que:

u 2 + 2 u + 1 = u + 1 2

Assim ficando:

2 ∫ 1 u + 1 2   d u

Passo 3

2 ∫ 1 u + 1 2   d u

Façamos:

s = u + 1

Logo:

d s d u = 1

Assim ficando:

2 ∫ 1 s 2   d s =

2 - 1 s + C

Lembrando que:

s = 1 + u

E:

u = tan ⁡ x 2

Logo:

s = 1 + tan ⁡ x 2

Assim concluímos que:

∫ 1 1 + sin ⁡ x   d x = 2 - 1 1 + tan ⁡ x 2 + C  

Resposta

∫ 1 1 + sin ⁡ x   d x = 2 - 1 1 + tan ⁡ x 2 + C