Calcule as integrais dos exercícios 71-82 utilizando a técnica que você acha apropriada:

71)

Calcule:

∫ π 4 3 π 4 c o s e c x - c o t g x 2 d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Boraaa... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ π 4 3 π 4 c o s e c x - c o t g x 2 d x

Sabendo que:

c o s e c - c o t g 2 = c o s e c 2 x - 2 . c o s e c x . c o t g x + c o t g ² x

Podemos fazer:

∫ π 4 π 3 c o s e c x   x - 2 c o s e c x c o t g x + c o t g 2 x d x

Passo 2

Sabendo que a soma de uma integral é a soma das integrais podemos fazer:

∫ π 4 π 3 c o s e c 2 x d x - 2 ∫ π 4 π 3 c o s e c x c o t g x d x + ∫ π 4 π 3 c o t g 2 x d x  

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ c o s e c 2 x d x = - c o t g x

E para a segunda, sabendo que:

c o s e c x c o t g x = 1 s e n x cos ⁡ x s e n x = cos ⁡ x s e n 2 x

Assim:

2 ∫ π 4 π 3 c o s e c x c o t g x d x = 2 ∫ π 4 π 3 cos ⁡ x s e n 2 x   d x

Façamos:

u = s e n x

Logo:

d u d x = cos ⁡ x

Lembrando que quando:

x = π 4 → u = 2 2

E:

x = π 3 → u = 3 2

Assim temos que:

2 ∫ π 4 π 3 c o s e c x c o t g x d x = 2 ∫ 2 2 3 2 1 u 2   d u =

2 1 u 2 2 3 2

E para:

∫ c o t g 2 x = - c o t g x   - x

Assim temos:

∫ π 4 π 3 c o s e c x   x - 2 c o s e c x c o t g x + c o t g 2 x d x =

- c o t g x - 2 1 u 2 2 3 2 - c o t g x - x π 4 π 3 =

4 - π 2

Assim:

∫ π 4 3 π 4 c o s e c x - c o t g x 2 d x = 4 - π 2

Resposta

∫ π 4 3 π 4 c o s e c x - c o t g x 2 d x = 4 - π 2