Calcule as integrais dos exercícios 71-82 utilizando a técnicas que você achar apropriada:

80)

∫ 1 2 x + 1 4 x 2 + 4 x   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 1 2 x + 1 4 x 2 + 4 x   d x

Sabemos que:

4 x 2 + 4 x = 2 x + 1 2 - 1

Assim podemos fazer:

∫ 1 2 x + 1 2 x + 1 2 - 1   d x

Passo 2

Façamos:

u = 2 x + 1

Logo:

d u d x = 2

Assim podemos fazer:

1 2   ∫ 1 u u 2 - 1   d u

Façamos novamente uma substituição:

s = u 2 - 1

Assim:

d s d u = u u 2 - 1

Assim ficando:

1 2 ∫ 1 s 2 + 1   d s

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 x 2 + 1   d x = tan - 1 ⁡ x + C

Assim:

1 2 ∫ 1 s 2 + 1   d s = 1 2 tan - 1 ⁡ s + C

Lembrando que:

s = u 2 - 1

E:

u = 2 x + 1

Logo:

s = 2 x + 1 2 - 1  

Portanto, concluímos que

∫ 1 2 x + 1 4 x 2 + 4 x   d x = 1 2 tan - 1 ⁡ 2 x + 1 2 - 1   + C

Resposta

∫ 1 2 x + 1 4 x 2 + 4 x   d x = 1 2 tan - 1 ⁡ 2 x + 1 2 - 1   + C