Enunciado

Calcule a integral iterada

∫ 0 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r   d r   d θ

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

∫ 0 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r   d r   d θ =   ∫ 0 π r 2 2 r = 0 1 + cos ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 π r ² r = 0 1 + cos ⁡ θ   d θ

= 1 2 ∫ 0 π ( 1 + cos ⁡ θ ) 2 - 0 ²   d θ = 1 2 ∫ 0 π ( 1 + cos ⁡ θ ) 2   d θ

= 1 2 ∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + c o s 2 θ   d θ

= 1 2 θ + 2 sen ⁡ θ θ = 0 π + 1 2 ∫ 0 π c o s 2 θ   d θ

= 1 2 π + 2 sen ⁡ π + 1 2 ∫ 0 π 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ

= π 2 + 1 4 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ 0 π = π 2 + 1 4 π + 1 2 sen ⁡ 2 π

π 2 + π 4 = 3 π 4

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r   d r   d θ = 3 π 4

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de