Calcule a integral iterada

int_0^(pi) int_0^(1 + cos theta) r d r d theta

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

int_0^(pi) int_0^(1 + cos theta) r d r d theta = int_0^(pi) [(r^2)/(2)]_(r = 0)^(1 + cos theta) d theta = (1)/(2) int_0^(pi) [r ²]_(r = 0)^(1 + cos theta) d theta

= (1)/(2) int_0^(pi) [( 1 + cos theta )^2 - 0 ²] d theta = (1)/(2) int_0^(pi) ( 1 + cos theta )^2 d theta

= (1)/(2) int_0^(pi) (1 + 2 cos theta + c o s^2 theta) d theta

= (1)/(2) [theta + 2 sen theta]_(theta = 0)^(pi) + (1)/(2) int_0^(pi) c o s^2 theta d theta

= (1)/(2) (pi + 2 sen pi) + (1)/(2) int_0^(pi) (1)/(2) (1 + cos 2 theta) d theta

= (pi)/(2) + (1)/(4) [theta + (1)/(2) sen 2 theta]_0^(pi) = (pi)/(2) + (1)/(4) (pi + (1)/(2) sen 2 pi)

(pi)/(2) + (pi)/(4) = (3 pi)/(4)

Resposta

int_0^(pi) int_0^(1 + cos theta) r d r d theta = (3 pi)/(4)