Calcule a integral iterada

int_0^((pi)/(2)) int_0^(cos theta) r^3 d r d theta

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

int_0^((pi)/(2)) int_0^(cos theta) r^3 d r d theta

= int_0^((pi)/(2)) ((r^4)/(4)|_(r = 0)^(cos theta) d theta

= int_0^((pi)/(2)) (1)/(4) c o s^4 theta d theta

= (1)/(4) int_0^(pi // 2) ( c o s^2 theta )^2 d theta

= (1)/(4) int_0^(pi // 2) [(1)/(2) ( 1 + cos 2 theta )]^2 d theta

= (1)/(4) int_0^(pi // 2) (1)/(4) (1 + 2 cos 2 theta + c o s^2 (2 theta)) d theta

= (1)/(16) int_0^((pi)/(2)) [1 + 2 cos 2 theta + c o s^2 ( 2 theta )] d theta

= ((1)/(16) ( theta + sen 2 theta )|_(theta = 0)^((pi)/(2)) + (1)/(16) int_0^((pi)/(2)) c o s^2 (2 theta) d theta

= (1)/(16) ( (pi)/(2) + sen (2 * (pi)/(2)) + (1)/(16) int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) ( 1 + cos 4 theta ) d theta

= (pi)/(32) + (1)/(32) int_0^((pi)/(2)) ( 1 + cos 4 theta ) d theta

= (pi)/(32) + (1)/(32) (( theta + (1)/(4) sen 4 theta )|_(theta = 0)^((pi)/(2))

= (pi)/(32) + (1)/(32) [(pi)/(2) + (1)/(4) sen (4 * (pi)/(2))]

= (pi)/(32) + (pi)/(64)

= (3 pi)/(64)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) int_0^(cos theta) r^3 d r d theta = (3 pi)/(64)