Calcule a integral iterada

int_0^((pi)/(6)) int_0^(cos 3 theta) r d r d theta

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

int_0^((pi)/(6)) int_0^(cos 3 theta) r d r d theta

= int_0^((pi)/(6)) [int_0^(cos 3 theta) r d r] d theta

= int_0^((pi)/(6)) [((r^2)/(2)|_(r = 0)^(cos 3 theta)] d theta

= int_0^((pi)/(6)) [(1)/(2) c o s^2 ( 3 theta )] d theta

= int_0^((pi)/(6)) (1)/(2) * (1)/(2) (1 + cos 6 theta) d theta

Aqui usamos a seguinte fórmula c o s^2 (3 theta) = (1)/(2) ( 1 + cos 6 theta )

= (1)/(4) int_0^((pi)/(6)) ( 1 + cos 6 theta ) d theta

= (1)/(4) (( theta + (1)/(6) sen 6 theta )|_(theta = 0)^(pi // 6)

= (1)/(4) ( (pi)/(6) + (1)/(6) sen (6 * (pi)/(6))

= (1)/(4) ( (pi)/(6) + 0 )

= (pi)/(24)

Resposta

int_0^((pi)/(6)) int_0^(cos 3 theta) r d r d theta = (pi)/(24)