Enunciado

Calcule a integral iterada

∫ 0 π 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r   d r   d θ

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

∫ 0 π 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r   d r   d θ

= ∫ 0 π 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r   d r   d θ

= ∫ 0 π 6 r 2 2 r = 0 cos ⁡ 3 θ   d θ

= ∫ 0 π 6 1 2 c o s 2 ( 3 θ )   d θ

= ∫ 0 π 6 1 2 ∙ 1 2 1 + cos ⁡ 6 θ d θ

Aqui usamos a seguinte fórmula c o s 2 3 θ = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 6 θ )

= 1 4 ∫ 0 π 6 ( 1 + cos ⁡ 6 θ )   d θ

= 1 4 ( θ + 1 6 sen ⁡ 6 θ ) θ = 0 π / 6

= 1 4 ( π 6 + 1 6 sen ⁡ 6 ∙ π 6

= 1 4 ( π 6 + 0 )

= π 24

Resposta

∫ 0 π 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r   d r   d θ = π 24

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