Calcule a integral iterada.

int_0^(pi // 4) int_0^1 int_0^(x^2) x c o s y d z d x d y

Passo 1

Bora iniciar mais uma questão, galera!

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa. Vamos começar.

Passo 2

Primeiramente vamos integrar em z , pois é a derivada mais interna.

int_0^(pi // 4) int_0^1 int_0^(x^2) x c o s y d z d x d y = int_0^(pi // 4) int_0^1 [z x c o s y]_0^(x^2) d x d y = int_0^(pi // 4) int_0^1 ( x^3 c o s y ) d x d y

Agora vamos integrar em relação a x .

int_0^(pi // 4) int_0^1 ( x^3 c o s y ) d x d y = int_0^(pi // 4) [(x^4)/(4) c o s y]_0^1 d y = int_0^(pi // 4) (1)/(4) c o s y d y

Por fim, vamos integrar em relação a y .

int_0^(pi // 4) (1)/(4) c o s y d y = [(1)/(4) s e n y]_0^(pi // 4) = (1)/(4) s e n ((pi)/(4)) - (1)/(4) s e n (0) = (1)/(4) * (sqrt(2))/(2) = (sqrt(2))/(8)

Assim, temos que:

int_0^(pi // 4) int_0^1 int_0^(x^2) x c o s y d z d x d y = (sqrt(2))/(8)

Resposta

(sqrt(2))/(8)