Enunciado

Calcule a integral iterada

∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ θ r cos ⁡ θ   d r   d θ

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ θ r cos ⁡ θ   d r   d θ =   ∫ 0 π 2 r 2 2 cos ⁡ θ r = 0 sen ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 2 1 2 s e n 2 θ cos ⁡ θ - 0 2 2 cos ⁡ 0   d θ = ∫ 0 π 2 s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ d θ =

Se u = sen ⁡ θ ⟹ d u = cos ⁡ θ   d θ

∫ 0 π 2 1 2 u 2 d u = 1 2 u 3 3 θ = 0 π / 2 = 1 6 u 3 θ = 0 π / 2 = 1 6 s e n 3 θ θ = 0 π / 2

= 1 6 s e n 3 ( π 2 ) - 1 6 s e n 3 0 = 1 6 1 3 - 1 6 0 3 = 1 6

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ θ r cos ⁡ θ   d r   d θ = 1 6

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