Calcule a integral iterada

int_0^((pi)/(2)) int_0^(sen theta) r cos theta d r d theta

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

int_0^((pi)/(2)) int_0^(sen theta) r cos theta d r d theta = int_0^((pi)/(2)) [(r^2)/(2) cos theta]_(r = 0)^(sen theta) d theta

= int_0^((pi)/(2)) [(1)/(2) s e n^2 theta cos theta - (0^2)/(2) cos 0] d theta = int_0^((pi)/(2)) [(s e n^2 theta)/(2) cos theta] d theta =

Se u = sen theta ⟹ d u = cos theta d theta

int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) u^2 d u = [(1)/(2) (u^3)/(3)]_(theta = 0)^(pi // 2) = [(1)/(6) u^3]_(theta = 0)^(pi // 2) = [(1)/(6) s e n^3 theta]_(theta = 0)^(pi // 2)

= (1)/(6) s e n^3 ( (pi)/(2) ) - (1)/(6) s e n^3 0 = (1)/(6) (1)^3 - (1)/(6) (0)^3 = (1)/(6)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) int_0^(sen theta) r cos theta d r d theta = (1)/(6)