Enunciado

Calcule a integral iterada

∫ 0 π ∫ 0 1 - sen ⁡ θ r 2 cos ⁡ θ   d r   d θ

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

∫ 0 π ∫ 0 1 - sen ⁡ θ r 2 cos ⁡ θ   d r   d θ

= ∫ 0 π ∫ 0 1 - sen ⁡ θ r 2 cos ⁡ θ   d r   d θ

= ∫ 0 π r 3 3 cos ⁡ θ r = 0 1 - sen ⁡ θ   d θ

= ∫ 0 π ( 1 - sen ⁡ θ ) 3 cos ⁡ θ 3   d θ

Se u = sen ⁡ θ ⟹ d u = cos ⁡ θ   d θ

= ∫ 0 π ( 1 - u ) 3 d u 3

= 1 3 ∫ 0 π 1 - 3 u + 3 u 2 - u 3 d u

= 1 3 ( u - 3 2 u 2 + u 3 - 1 4 u 4 ) θ = 0 π

= 1 3 sen ⁡ θ - 3 2 s e n 2 θ + s e n 3 θ - 1 4 s e n 4 θ θ = 0 π

= 0

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 1 - sen ⁡ θ r 2 cos ⁡ θ   d r   d θ = 0

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