Calcule a integral iterada

int_0^(pi) int_0^(1 - sen theta) r^2 cos theta d r d theta

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

int_0^(pi) int_0^(1 - sen theta) r^2 cos theta d r d theta

= int_0^(pi) [int_0^(1 - sen theta) r^2 cos theta d r] d theta

= int_0^(pi) ((r^3)/(3) cos theta|_(r = 0)^(1 - sen theta) d theta

= int_0^(pi) (( 1 - sen theta )^3 cos theta)/(3) d theta

Se u = sen theta ⟹ d u = cos theta d theta

= int_0^(pi) (( 1 - u )^3 d u)/(3)

= (1)/(3) int_0^(pi) (1 - 3 u + 3 u^2 - u^3) d u

= (1)/(3) (( u - (3)/(2) u^2 + u^3 - (1)/(4) u^4 )|_(theta = 0)^(pi)

= (1)/(3) ((sen theta - (3)/(2) s e n^2 theta + s e n^3 theta - (1)/(4) s e n^4 theta)|_(theta = 0)^(pi)

= 0

Resposta

int_0^(pi) int_0^(1 - sen theta) r^2 cos theta d r d theta = 0