Calcule a integral iterada

int_0^((pi)/(2)) int_0^(a sen theta) r^2 d r d theta

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

int_0^((pi)/(2)) int_0^(a sen theta) r^2 d r d theta = int_0^((pi)/(2)) [int_0^(a sen theta) r^2 d r] d theta =

= int_0^((pi)/(2)) ((r ³)/(3)|_(r = 0)^(a sen theta) d theta = int_0^((pi)/(2)) (1)/(3) [(a sen theta)^3 - (a sen 0)] d theta

= (a ³)/(3) int_0^((pi)/(2)) s e n^3 theta d theta = (a ³)/(3) int_0^((pi)/(2)) s e n^2 theta sen theta d theta

= (a ³)/(3) int_0^((pi)/(2)) (1 - c o s^2 theta) sen theta d theta

Se u = cos theta ⟹ d u = - sen theta d theta

int_0^((pi)/(2)) int_0^(a sen theta) r^2 d r d theta = (a ³)/(3) int_0^((pi)/(2)) (1 - u^2) (- d u) = (a ³)/(3) int_0^((pi)/(2)) (u^2 - 1) d u

= (a ³)/(3) (((u^3)/(3) - u)|_(theta = 0)^((pi)/(2)) = (a ³)/(3) (((c o s^3 theta)/(3) - cos theta)|_(theta = 0)^((pi)/(2))

= (a^3)/(3) [- ((1)/(3) - 1)] = (a ³)/(3) * - (- 2)/(3) = (2)/(9) a ³

Resposta

int_0^((pi)/(2)) int_0^(a sen theta) r^2 d r d theta = (2)/(9) a ³