Enunciado

Calcule a integral iterada

∫ 0 π 2 ∫ 0 a sen ⁡ θ r 2 d r   d θ

Passo 1

Olá galera! Neste exercício nos foi dado uma integral dupla com intervalos de integração expressos em coordenadas polares e nos pede para determinar o valor desta integral. Como a ordem de integração em relação a uma determinada variável não importa, então podemos integrá-la de acordo com a nossa preferência.

Passo 2

∫ 0 π 2 ∫ 0 a sen ⁡ θ r 2 d r   d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 a sen ⁡ θ r 2 d r   d θ =

= ∫ 0 π 2 r ³ 3 r = 0 a sen ⁡ θ   d θ = ∫ 0 π 2 1 3 a sen ⁡ θ 3 - a sen ⁡ 0   d θ

= a ³ 3 ∫ 0 π 2 s e n 3   θ   d θ = a ³ 3   ∫ 0 π 2 s e n 2   θ sen ⁡ θ   d θ

= a ³ 3 ∫ 0 π 2 1 - c o s 2   θ sen ⁡ θ   d θ

Se u = cos ⁡ θ ⟹ d u = - sen ⁡ θ   d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 a sen ⁡ θ r 2 d r   d θ = a ³ 3 ∫ 0 π 2 1 - u 2 - d u = a ³ 3 ∫ 0 π 2 u 2 - 1 d u

= a ³ 3 u 3 3 - u θ = 0 π 2 = a ³ 3 c o s 3   θ 3 - cos ⁡ θ θ = 0 π 2

= a 3 3 - 1 3 - 1 = a ³ 3 ∙ - - 2 3 = 2 9 a ³

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 a sen ⁡ θ r 2 d r   d θ = 2 9 a ³

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