Enunciado

Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente.

∮ C y 2 d x + x 2 d y

Passo 1

Boa galera! Vamos para mais uma questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = y 2 ; g   x ,   y = x 2

∂ g ∂ x = 2 x

∂ f ∂ y = 2 y

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C y 2 d x + x 2 d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x - 2 y d y d x = ∫ 0 1 2 x y - y 2 0 1 d x = ∫ 0 1 ( 2 x - 1 ) d x = x 2 - x 0 1 = 0

Passo 3

Verificando a resposta:

x = 0 → y 2 d x = 0 ; x 2 d y = 0

y = 0 → y 2 d x = 0 ; x 2 d y = 0

x = 1 → y 2 d x + x 2 d y = d y

y = 1 → y 2 d x + x 2 d y = d x

Assim

∮ C y 2 d x + x 2 d y = ∫ 0 1 d y + ∫ 1 0 d x = y 0 1 + x 1 0 = 1 - 1 = 0

Resposta

0

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