Enunciado

Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente.

∮ C y d x + x d y

Passo 1

Vamos galera, resolver essa questão!

O Teorema de Green diz que:“Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = y ; g   x ,   y = x

∂ g ∂ x = 1

∂ f ∂ y = 1

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C y d x + x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - 1 d y d x = 0

Passo 3

Verificando a resposta:

x = c o s t ,   y = s e n t

t = 0 → y d x = 0 ; x d y = 1

t = 2 π → y d x = 0 ; x d y = 1

Assim

∮ C y d x + x d y = ∫ 0 2 π s e n t d t + ∫ 0 2 π c o s t d t = 0

Resposta

0

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