Enunciado

Calcule e interprete geometricamente o resultado obtido

Letra a)

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 d x   d y

Onde A n é a coroa circular

1 n 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1

Com n ≥ 2

Passo 1

O problema sugere uma integral de superfície e a superfície A n é a seguinte coroa circular

Passo 2

Se ao invés de resolvermos esta integral em coordenadas cartesianas, resolvermos em coordenadas polares o trabalho será deveras abreviado

Podemos trabalhar em termos do ângulo teta ( θ ) e dos raios ( ρ ) das circunferências que compõem a coros, ou seja

θ varia de 0   r a d até 2 π   r a d , ou seja varre todo o plano

Para a restrição 1 n 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 , só sabemos que n é maior ou igual a 2

E como agora estamos trabalhando com θ e ρ os diferenciais não serão mais d x d y e sim ρ d ρ d θ

Passo 3

Tirando a raiz quadrada da restrição teremos

1 n ≤ x 2 + y 2 ≤ 1

E ρ = x 2 + y 2 . Aplicando ao limite vamos obter

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 d x   d y

A raiz quadrada do integrando é o próprio ρ

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 d x   d y = l i m n → + ∞ ∬ A n 1 ρ ρ d θ d ρ

Obtendo

l i m n → + ∞ ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 n 1 d ρ

A primeira integral tem como resultado 2 π implicando em

2 π ⋅ l i m n → + ∞ 1 - 1 n

O resultado de

l i m n → + ∞ 1 - 1 n = 1

Dessa forma

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 d x   d y = 2 π ⋅ 1 = 2 π

Resposta

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x 2 + y 2 d x   d y = 2 π

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