Calcule

a ) lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x

Passo 1

Para resolver esse limite, precisamos lembrar do limite fundamental exponencial:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Certo?

Passo 2

Agora vamos fazer uma mudança de variáveis, para ver como nosso exercício pode se encaixar no limite fundamental.

Dizendo que:

u = x 2

Então temos que x = 2 u . Ok?

Passo 3

Agora vamos substituir x para o nosso caso:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x = lim 2 u → + ∞ ⁡ 1 + 2 2 u 2 u

Aqui temos duas coisas:

  • Sabendo que x = 2 u , e quando x → + ∞ temos que: u → + ∞ / 2 que também é + ∞ , então podemos substituir 2 u → + ∞ por u → + ∞ ;
  • Lembrando também das propriedades de funções exponenciais: A 2 x = A x 2 = A 2 x

Com isso vou arrumar aquele limite ali em cima:

lim 2 u → + ∞ ⁡ 1 + 2 2 u 2 u = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2

O que temos dentro dos colchetes é a definição do número e , assim:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2 = e 2

Resposta

e 2

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