Calcule o limite lateral

underset(y -> 2^+)(lim) (sqrt(y - 2))/(y^2 - 4)

Passo 1

Uooooooooooooooooou! Vamos continuar nossa jornada de calcular limites laterais. Nessa questão, teremos um limite do tipo 0 // 0 . Podemos fazer essa análise analiticamente ou graficamente. Se optarmos pela primeira, teremos que fazer uma fatoração. A vantagem é que se a fatoração nos tirar da indeterminação, o ponto passa a não ser um problema e o limite existirá. Ora, se o limite existe, então os limites laterais também existirão.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador da função:

(sqrt(y - 2))/(y^2 - 4) = (sqrt(y - 2))/(( y + 2 ) ( y - 2 ))

Agora, vamos usar a seguinte propriedade: a = sqrt(a) * sqrt(a) e aplicar ao segundo produto do denominador:

(sqrt(y - 2))/(( y + 2 ) ( y - 2 )) = (sqrt(y - 2))/((y + 2) sqrt(y - 2) * sqrt(y - 2))

Podemos “cortar” a raiz do numerador com uma do denominador ficando com

(sqrt(y - 2))/((y + 2) sqrt(y - 2) * sqrt(y - 2)) = (1)/(sqrt(y - 2) * ( y + 2 ))

Passo 3

Com a função nessa nova “aparência”, podemos calcular o limite:

underset(y -> 2^+)(lim) (sqrt(y - 2))/(y^2 - 4) = underset(y -> 2^+)(lim) (1)/(sqrt(y - 2) * ( y + 2 ))

Infelizmente, ao substituirmos y = 2 na nova função, obteremos 0 no denominador. Mas como o numerador é diferente de zero, podemos estudar o comportamento da função. Temos que o numerador é positivo, então o sinal do resultado vai depender do denominador.

O termo na raiz será positivo. Além disso, o termo entre parênteses também será positivo pois se trata da soma de dois números positivos. Logo, o limite divergirá para o infinito. Assim

underset(y -> 2^+)(lim) (sqrt(y - 2))/(y^2 - 4) = oo

Esse problema nos mostrou que nem sempre uma fatoração nos fornece uma resposta imediata. Às vezes é preciso fazer uma análise mais minuciosa.

Resposta

underset(y -> 2^+)(lim) (sqrt(y - 2))/(y^2 - 4) = oo