Calcule ∫ C   x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de (-1,1) a (2,4)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de linha ∫ C   x y d x + ( x + y ) d y ao longo do caminho C : y = x 2 entre os pontos ( - 1,1 ) a ( 2,4 ) utilizaremos a descrição teórica da página 372 e 373.

Passo 2

Inicialmente expressamos as variáveis x , y em termos do parâmetro t . Teremos então, que x = t , y = t 2 .Vamos começar escrevendo a equação parametrizada de r → em C . r → = x i → + y j ‾ = t i ‾ + t 2 j → , com - 1 ≤ t ≤ 2 .Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

d r → d t = i → + 2 j →

Passo 3

Precisamos também encontrar a equação vetorial F → parametrizada:

F → = x y i → + ( x + y ) j → = t 3 i → + t + t 2 j →

Podemos agora, calcular o produto escalar F → ⋅ d r → d t

F ‾ ⋅ d r → d t = t 3 i → + t + t 2 j ‾ ⋅ ( i → + 2 j → ) = t 3 + 2 t t + t 2 = t 3 + 2 t 2 + 2 t 3 = 3 t 3 + 2 t 2

Passo 4

O resultado final será a integral de linha conforme especificado abaixo:

∫ a b   F → ⋅ d r → d t d t = ∫ - 1 2   3 t 3 + 2 t 2 d t = 3 t 4 4 + 2 t 3 3 - 1 2 = 12 + 16 3 - 3 4 - 2 3 = 45 4 + 18 3 = 69 4

Resposta

Resposta nos passos.

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