f (x) = x^2 + 9 x ; a = 2 .

Calcule f^' (a) usando as duas equações:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) ; f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a) .

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Vamos calcular usando a primeira equação, beleza?

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

f (a + h) = f (2 + h) = ( 2 + h )^2 + 9 (2 + h) = h^2 + 4 h + 4 + 18 + 9 h = h^2 + 13 h + 22

f (a) = f (2) = 2^2 + 9 * 2 = 4 + 18 = 22

Substituindo na equação, temos:

f^' (2) = underset(h -> 0)(lim) (h^2 + 13 h + 22 - 22)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h^2 + 13 h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) h + 13 = 0 + 13 = 13

Passo 2

Agora, usando a segunda equação:

f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) (f (x) - 22)/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) (x^2 + 9 x - 22)/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) ((x - 2) (x + 11))/(x - 2)

= underset(x -> 2)(lim) x + 11 = 2 + 11 = 13

E obtivemos o mesmo resultado!

Bem tranquilo! :)

Resposta

f^' (2) = 13