f (x) = 9 - 3 x^2 ; a = 0 .

Calcule f^' (a) usando as duas equações:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) ; f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a) .

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Vamos calcular usando a primeira equação, beleza?

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

f (a + h) = f (0 + h) = f (h) = 9 - 3 h^2

f (a) = f (0) = 9 + 3 * 0^2 = 9 + 0 = 9

Substituindo na equação, temos:

f^' (0) = underset(h -> 0)(lim) (9 - 3 h^2 - 9)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- 3 h^2)/(h) = underset(h -> 0)(lim) - 3 h = - 3 * 0 = 0

Passo 2

Agora, usando a segunda equação:

f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

f^' (0) = underset(x -> 0)(lim) (f (x) - 9)/(x - 0) = underset(x -> 0)(lim) (f (x) - 9)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (9 - 3 x^2 - 9)/(x) = underset(x -> 0)(lim) - (3 x^2)/(x) = underset(x -> 0)(lim) - 3 x

= - 3 * 0 = 0

E obtivemos o mesmo resultado!

Bem tranquilo! :)

Resposta

f^' (0) = 0