f (x) = 3 x^2 + 4 x + 2 ; a = - 1 .

Calcule f^' (a) usando as duas equações:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) ; f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a) .

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Vamos calcular usando a primeira equação, beleza?

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

f (a + h) = f (- 1 + h) = 3 ( - 1 + h )^2 + 4 (- 1 + h) + 2

= 3 (h^2 - 2 h + 1) - 4 + 4 h + 2 = 3 h^2 - 6 h + 3 + 4 h - 2 = 3 h^2 - 2 h + 1

f (a) = f (- 1) = 3 ( - 1 )^2 + 4 (- 1) + 2 = 3 - 4 + 2 = 1

Substituindo na equação, temos:

f^' (- 1) = underset(h -> 0)(lim) (3 h^2 - 2 h + 1 - 1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (3 h^2 - 2 h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) 3 h - 2 = 3 * 0 - 2 = - 2

Passo 2

Agora, usando a segunda equação:

f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

f^' (- 1) = underset(x -> - 1)(lim) (f (x) - 1)/(x - (- 1)) = underset(x -> - 1)(lim) (3 x^2 + 4 x + 2 - 1)/(x + 1) = underset(x -> - 1)(lim) (3 x^2 + 4 x + 1)/(x + 1)

= underset(x -> - 1)(lim) ((x + 1) (3 x + 1))/(x + 1) = underset(x -> - 1)(lim) 3 x + 1 = 3 (- 1) + 1 = - 3 + 1 = - 2

E obtivemos o mesmo resultado!

Bem tranquilo! :)

Resposta

f^' (- 1) = - 2