f (x) = x^2 + 9 x ; a = 0 .

Calcule f^' (a) usando as duas equações:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) ; f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a) .

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Vamos calcular usando a primeira equação, beleza?

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h)

f (a + h) = f (0 + h) = f (h) = h^2 + 9 h

f (a) = f (0) = 0^2 + 9 * 0 = 0

Substituindo na equação, temos:

f^' (0) = underset(h -> 0)(lim) (h^2 + 9 h - 0)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h^2 + 9 h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) h + 9 = 0 + 9 = 9

Passo 2

Agora, usando a segunda equação:

f^' (a) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

f^' (0) = underset(x -> 0)(lim) (f (x) - 0)/(x - 0) = underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 + 9 x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) x + 9 = 0 + 9 = 9

E obtivemos o mesmo resultado!

Bem tranquilo! :)

Resposta

f^' (0) = 9