Calcule

Letra d)

underset(n -> oo)(lim) (n + n^2 s e n ((1)/(n)))/(1 - n^2 s e n ((1)/(n)))

Passo 1

Vamos primeiramente substituir 1 // n por

x = (1)/(n)

Então o limite ficará

underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x) + (1)/(x^2) s e n (x))/(1 - (1)/(x^2) s e n (x))

Dividindo o numerador e o denominador por x^2

underset(x -> 0^+)(lim) (x + s e n (x))/(x^2 - s e n (x))

Passo 2

A expressão anterior nos resulta uma indeterminação por isso aplicaremos a regra de L’Hospital derivando em cima e embaixo do argumento do limite

Ficaremos com

underset(x -> 0^+)(lim) (1 + cos (x))/(2 x - cos (x))

Aplicando o limite

underset(x -> 0^+)(lim) (1 + cos (x))/(2 x - cos (x)) = (1 + 1)/(0 - 1) = - 2

Resposta

underset(n -> oo)(lim) (n + n^2 s e n ((1)/(n)))/(1 - n^2 s e n ((1)/(n))) = - 2

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