Um caminhão tem que percorrer 300 milhas numa estrada com uma velocidade constante de x milhas por hora. As leis de circulação impõem 30 ≤ x ≤ 60 . Admita-se que o combustível custa 30 cêntimos por galão e é consumido na razão de 2 + x 2 600 galões por hora. Se o condutor recebe D dólares por hora e se cumprem as restrições do trânsito, determinar a velocidade mais econômica e o custo de viagem se: (a) D = 0; (b) D = 1; (c) D = 2; (d) D = 3; (e) D = 4

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Então dado que ,

2 + x 2 600 galões por hora

l 0 = 300   milhas

X = velocidade constante

l 0 x = tempo gasto

K = custo do gás =0,30

C = custo do gás + custo da mão de obra do motorista = l 0 2 k x + k x 600 + d x

Passo 2

A partir disso vamos ter que ,

d c d x = l 0 - 2 k x 2 + k 600 - D x 2 = 0 →   d c d x = 0 → x = 2 k + D k     10 6  

d 2 c d x 2 = l 0 - 2 k - D - 2 x 3 = l 0 2 2 k + D x 3 > 0

Passo 3

Assim, C é minimizado se x = 2 k + D k 10 6

C m i n = 300 2 k + D     k 10 6 + k   2 k + D   10 6 600 ≈ 3 2   6 + 10 D  

( lembrando de que há um limite de velocidade de 60 milhas/hora)

Com isso vamos ter que,

1   D = 0   ,   x = 20 3 ,   C = 6 3 ≈ 10,39  

2   D = 1 ,   x = 40 2 ,   C = 12 2 ≈ 16,97

3   D = 2 ,   x = 60   p o r   c a u s a   d o   l i m i t e   d e   v e l o c i d a d e ,   C = 300 2 k 60 + k 60 600 + D 60 = 5 2,4 + D = 22

4   D = 3 ,   x = 60   ,   C = 27

5   D = 4 ,   x = 60 ,   C = 32

Resposta

1   D = 0   ,   x = 20 3 ,   C = 6 3 ≈ 10,39  

2   D = 1 ,   x = 40 2 ,   C = 12 2 ≈ 16,97

3   D = 2 ,   x = 60   p o r   c a u s a   d o   l i m i t e   d e   v e l o c i d a d e ,   C = 300 2 k 60 + k 60 600 + D 60 = 5 2,4 + D = 22

4   D = 3 ,   x = 60   ,   C = 27

5   D = 4 ,   x = 60 ,   C = 32