Um campo de baseball é um quadro cujo lado mede 90 pés. Uma bola é lançada por um batedor ao longo de uma linha que passa pela terceira base com uma velocidade constante de 100 pés por segundo. Qual é a rapidez com que varia a distância da bola à primeira base quando:

a. A bola se encontra na metade do caminho?

b. Quando a bola alcança a terceira base?

Passo 1

Primeiro vamos fazer um desenho para facilitar nossa interpretação.

No desenho é possível indicar o batedor, as 2 bases citadas e foi criada 2 distâncias:

x = distância da bola até a primeira base

y = distância da bola até o batedor

Vamos lembrar que a rapidez/velocidade de algo é dada pela derivada da posição, nesse caso, o que nos é pedido é a velocidade da bola em relação à 1º base, sobre o segmento x.

Passo 2

Sabemos que ao longo do segmento que liga o batedor à 3º base, temos velocidade igual a 100 pés por segundo, ou seja:

d y d t = 100 p é s s

Passo 3

Precisamos relacionar x e y, uma vez que queremos d x d t   porém só temos informações de y.

Por Pitágoras temos: x 2 = y 2 + 90 2   → x =   y 2 + 90 2

Derivando em relação à y:

d x d y = d y 2 + 90 2 d y = 2 y 2 ( y 2 + 90 2 = y y 2 + 90 2

Vamos multiplicar os 2 lados da equação por d y d t .

d x d y   d y d t = y y 2 + 90 2   d y d t

d x d t = y y 2 + 90 2   100  

Ou seja, nossa questão acaba aqui, agora temos apenas que substituir os valores de y pedidos.

y = 45   p é s :  

d x d t = 20 5     p é s s

y = 90   p é s :  

d x d t = 50 2   p é s s

Resposta

a. 20 5     p é s s

b. 50 2   p é s s