O campo de direção para d/dx = 4x/y aparece na Figura 1.13.

  1. Verifique se as linhas retas y = ± 2x são curvas de solução, desde que x ≠ 0 .
  2. Esboce a curva-solução com condição inicial y(0) = 2
  3. Esboce a curva-solução com condição inicial y(2) = 1
  4. o que você pode dizer sobre o comportamento das soluções anteriores quando x → +∞ ? E quando x → -∞ ?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Sejam as linhas y=±2x. Como dxdy​=±2 então:
  2. d y d x   =   4 x y   =   4 x ± 2 x   =   ± 2

    Assim, as linhas y=±2x são curvas solução da equação diferencial dada.

    Passo 2

  3. O gráfico da solução da equação diferencial que passa pelo ponto (0,2) deve ter inclinação 4 ∙ 0 2 = 0 neste ponto. Então, para traçar a curva solução f(x) satisfazendo a condição y(0)=2, poderíamos passar para uma curva adjacente.
  4. O gráfico da solução da equação diferencial que passa pelo ponto (1,2) deve ter inclinação 4 ∙ 1 2   =   2 neste ponto. Então, para traçar a curva solução g(x) satisfazendo a condição y(1)=2 podemos passar para uma curva adjacente. As curvas de solução são mostradas na figura a seguir.
  5. Passo 3

  6. As curvas de solução tornam-se infinitas quando x→∞ e têm a linha y=2 como assíntota. A curva solução da parte (a) torna-se infinita e tem a linha y=−2 como assíntota quando x→−∞. A curva de solução da parte (b) não existe para x negativo.

Resposta

Resposta nos passos.