Quando uma carga P é aplicada a uma longa coluna delgada de seção transversa uniforme e comprimento L, a coordenada de um ponto de sua curva de deflexão é dada por

Onde as constantes E e I são respectivamente, o módulo de elasticidade de Young e o momento de inércia da seção transversa. Se a coluna é impedida de rotar em seu topo e em sua base, as condições de contorno são y(0) = 0 e y(L) = 0 .

a) mostre que esse problema de valores no contorno indica que a coluna não verga, a menos que a carga P tenha um dos valores P_n = (n^2 * pi^2) / 2 * E I, n = 1, 2, 3, … essas diferentes cargas são chamadas cargas críticas.

b) mostre que a curva de deflexão correspondente à mais baixa carga crítica P₁ = (π² / L²) E I, chamada carga Euler, é y₁(x) = c₂ * seno(πx / L) Então y1(x) é chamado primeiro modo de deformação

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinarmos que

Ele pede para determinarmos,

a) mostre que esse problema de valores no contorno indica que a coluna não verga, a menos que a carga P tenha um dos valores P n = n 2 π 2 2 E I ,   n = 1,2 , 3 , … essas diferentes cargas são chamadas cargas críticas.

b) mostre que a curva de deflexão correspondente à mais baixa carga crítica P 1 = π 2 L 2 E I , chamada carga Euler, é y 1 x = c 2 sin ⁡ π x L .   Então y 1 ( x ) é chamado primeiro modo de deformação

Passo 2

Na letra (a) sabendo que

P n = n 2 π 2 2 E I ,   n = 1,2 , 3 , …

Para mostrarmos que esse valor no contorno fica

E I d 2 y d x 2 + P y = 0

P n = n 2 π 2 2 E I

y t = c 1 . e α t cos ⁡ β t + c 2 e α t sin ⁡ β t

y L = c 1 . e α L cos ⁡ β L + c 2 e α L sin ⁡ β L

Passo 3

Na letra (b) para mostrarmos que, P 1 = π 2 L 2 E I tendo,

y 1 x = c 2 sin ⁡ π x L  

Derivando a função temos

y t = c 1 . e α t cos ⁡ β t + c 2 e α t sin ⁡ β t

y ' t = - c 1 . β e α t sin  ⁡ β t + c 2 β e α t cos  ⁡ β t

c 2 sin ⁡ π x L  

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

c 2 sin ⁡ π x L