- Si A es cerrado y , probar que existe un numero tal que para todo
- Si A es cerrado, B es compacto, y probar que existe um , tal que para todo Indicacion: para cada hallar um conjunto abierto U que contenga a b y tal que la relacion se verifique para
- Dar um contraejemplo em para el caso em que A y B sean cerrados pero ninguno de los dos compacto.
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Para a)
O conjunto A é fechado, o que implica que é aberto. Desde que , então existe uma bolinha aberta que contem tal que x esteja nessa bolinha, e x também pertence ao aberto, assim Portanto para todo
Vamos para o próximo passo?!
Passo 2
Para b)
Para todo , existe um como dito, tal que e para todo Então a família é aberta desde que B seja compacto, então há um conjunto finito tal que cobre toda a parte de B, pois todo x estaria inclusão, certo?
Agora façamos:
Então para qualquer existe uma “bolinha” aberta contendo x e, como dito, . Desde que:
Passo 3
Para c)
A função satisfaz o pedido, assim:

Resposta
Para c)
