1. Si A es cerrado y x ∉ A , probar que existe un numero d > 0 tal que |y - x| ≥ d para todo y ∈ A.
  2. Si A es cerrado, B es compacto, y A ∩ B = ∅ probar que existe um d > 0 , tal que |y - x| ≥ d para todo x ∈ B. Indicacion: para cada b ∈ B hallar um conjunto abierto U que contenga a b y tal que la relacion se verifique para x ∈ U ∩ B.
  3. Dar um contraejemplo em R^2 para el caso em que A y B sean cerrados pero ninguno de los dos compacto.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

O conjunto A é fechado, o que implica que A c é aberto. Desde que x ∈ A c , então existe uma bolinha aberta B ( x ; d ) que contem d > 0 tal que x esteja nessa bolinha, x ∈ B x ; d , e x também pertence ao aberto, assim x ∈ B x ; d ∈ A c . Portanto y - x ≥ d para todo y ∈ A

Vamos para o próximo passo?!

Passo 2

Para b)

Para todo x ∈ B , existe um d x > 0 como dito, tal que x ∈ B x ; d x 2 ⊂ A c e y - x ≥ d x para todo x ∈ A . Então a família B x ; x d 2 : x ∈ B é aberta desde que B seja compacto, então há um conjunto finito x 1 , … ,   x n tal que { B x 1 ; d x 1 2 ,   … ,   B x n ; d x n 2 cobre toda a parte de B, pois todo x estaria inclusão, certo?

Agora façamos:

d = min ⁡ d x 1 2 ,   … , d x n 2 2

Então para qualquer x ∈ B , existe uma “bolinha” aberta B x i ; x i 2 contendo x e, como dito, y - x i ≥ d i . Desde que:

y - x ≥ y - x i - x i - x ≥ d i - d i 2 = d i 2 ≥ d

Passo 3

Para c)

A função 1 x satisfaz o pedido, assim:

Resposta

Para c)