Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Se, inicialmente, há 100 miligramas de material, e se, após dois anos, observou-se o decaimento de 5% do material, determine (a) a expressão da massa para um instante de tempo arbitrário e (b) o tempo necessário para o decaimento de 10% do material.
Passo 1
No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, e o material decai, então a taxa é negativa:
Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução.
Depois de desenvolvermos a solução, só vai faltar a gente aplicar o valor do enunciado e achar o tempo necessário.
Passo 2
Desenvolvendo a solução por EDO separável.
Usando propriedades logarítmicas .
Substituindo a constante afim de simplificar .
Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.
Em ,
Em ,
Pronto!! Já temos a função que vamos achar o tempo.
Passo 3
O enunciado nos pede 10% do material, então.