Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade inicial. Se, inicialmente, há 100 miligramas de material, e se, após dois anos, observou-se o decaimento de 5% do material, determine (a) a expressão da massa para um instante de tempo arbitrário t e (b) o tempo necessário para o decaimento de 10% do material.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, e o material decai, então a taxa é negativa:

d m d t = - k m

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução.

Depois de desenvolvermos a solução, só vai faltar a gente aplicar o valor do enunciado e achar o tempo necessário.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 m d m = k d t

∫ 1 m d m = k ∫ d t

l n m + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ m + c = e k t

m e c = e k t

m = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

m = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , m = 100

100 = c e 0

c = 100

Em t = 2 , N = 95

95 = c e 2 k

95 = 100 e 2 k

k = ln ⁡ 0,95 2

k = - 0,0256

Pronto!! Já temos a função que vamos achar o tempo.

m ( t ) = 100 e - 0,0256 t

Passo 3

O enunciado nos pede 10% do material, então.

90 = 100 e - 0,0256 t

- 0,0256 t = ln ⁡ 0,9

        t = 4,11   a n o s

Resposta

  1. m ( t ) = 100 e - 0,0256 t
  2.   t = 4,11   a n o s