Um certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se após uma hora observou-se o decaimento de 10% do material, determine a meia-vida do material. Dica: Designe por a massa inicial do material. Não é necessário determinar explicitamente.
Passo 1
No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, e que o material decai, então vamos ter uma derivada com valor negativo:
Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução.
Depois de desenvolvermos a solução, só vai faltar a gente aplicar o valor do enunciado e achar o tempo.
Passo 2
Desenvolvendo a solução por EDO separável.
Usando propriedades logarítmicas .
Substituindo a constante afim de simplificar .
Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.
Em ,
Em ,
Pronto!! Já temos a função que vamos achar o tempo.
Passo 3
O enunciado nos dá que e pede o tempo para essa proporção.