Um certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se após uma hora observou-se o decaimento de 10% do material, determine a meia-vida do material. Dica: Designe por N 0 a massa inicial do material. Não é necessário determinar N 0 explicitamente.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, e que o material decai, então vamos ter uma derivada com valor negativo:

d m d t = - k m

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução.

Depois de desenvolvermos a solução, só vai faltar a gente aplicar o valor do enunciado e achar o tempo.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 m d m = k d t

∫ 1 m d m = k ∫ d t

l n m + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ m + c = e k t

m e c = e k t

m = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

m = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , N = N 0

N 0 = c e 0

c = N 0

Em t = 1 , N = N 0 ( 0,9 )

( 0,9 ) N 0 = c e k

( 0,9 ) N 0 = N 0 e k

k = ln ⁡ 0,9

k = - 0,105

Pronto!! Já temos a função que vamos achar o tempo.

N ( t ) = N 0 e - 0,105 t

Passo 3

O enunciado nos dá que N = N 0 ( 0,5 ) e pede o tempo para essa proporção.

0,5 N 0 = N 0 e - 0,105 t

0,5 = e - 0,105 t

ln ⁡ 0,5 = - 0,105 t

          t = 6,6   h o r a s

Resposta

          t = 6,6   h o r a s