Classifique como hiperbólica, parabólica e elíptica a equação de derivada parcial:

(d^2 u) / (d x^2) + (d^2 u) / (d y^2) = u

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para classificarmos a equação como hiperbólica, parabólica ou elíptica, sabendo que

d 2 u d x 2 + d 2 u d y 2 = u →   d 2 u d x 2 + d 2 u d y 2 - u = 0

Mas me diz aí você sabe como determina-las? não? Então sabendo que a equação de segunda ordem vale,

A d 2 u d x 2 + B d 2 u d x d y + C d 2 u d y 2 + D d u d x + E d u d y + F u = 0

Tendo que determinar A , B , C , D , E , F   como constantes reais que valem,

H i p e r b ó l i c a   → s e   B 2 - 4 A C > 0

p a r a b ó l i c a → s e   B 2 - 4 A C = 0

E l í p t i c a → s e   B 2 - 4 A C < 0

Confuso né? fica de boa que resolvendo ela vai ficar mais clara e você vai abrir a mente

Passo 2

Sabendo que,

d 2 u d x 2 + d 2 u d y 2 = u

Ficando a separação das funções temos que,

A = d 2 u d x 2 → A = 1

B = 0 → B = 0

C = d 2 u d y 2 → C = 1

F = - u → F = - 1

Seguindo a regra das equações dada no passo 1 vamos ter que,

B 2 - 4 A C = 0 2 - 4.1 . 1 = - 4 = - 4 < 0

Sendo ela elíptica

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

- 4 < 0 → e l í p t i c a