Classifique como hiperbólica, parabólica e elíptica a equação de derivada parcial:

a 2 d 2 u d x 2 = d 2 u d t 2

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para classificarmos a equação como hiperbólica, parabólica ou elíptica, sabendo que

a 2 d 2 u d x 2 = d 2 u d t 2

Mas me diz aí você sabe como determina-las? não? Então sabendo que a equação de segunda ordem vale,

A d 2 u d x 2 + B d 2 u d x d y + C d 2 u d y 2 + D d u d x + E d u d y + F u = 0

Tendo que determinar A , B , C , D , E , F   como constantes reais que valem,

H i p e r b ó l i c a   → s e   B 2 - 4 A C > 0

p a r a b ó l i c a → s e   B 2 - 4 A C = 0

E l í p t i c a → s e   B 2 - 4 A C < 0

Confuso né? fica de boa que resolvendo ela vai ficar mais clara e você vai abrir a mente

Passo 2

Sabendo que,

a 2 d 2 u d x 2 = d 2 u d t 2 →   a 2 d 2 u d x 2 - d 2 u d t 2 = 0

Ficando a separação das funções temos que,

A = a 2 d 2 u d x 2 → A = a 2

C = - d 2 u d t 2 → C = - 1

B = 0

Seguindo a regra das equações dada no passo 1 vamos ter que,

B 2 - 4 A C = 0 2 - 4 . a 2 . - 1 = 4 a 2 = 4 a 2 > 0

Sendo ela hiperbólico

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

4 a 2 > 0   → h i p e r b ó l i c o