Enunciado

Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

E aí, aluno do Responde Aí!!

Para essa questão vamos primeiro lembrar que uma série é absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente. E uma série é condicionalmente convergente se a série de valores absolutos diverge, mas a série converge. E, caso contrário, a série é divergente. Então, vamos começar por testar a convergência absoluta.

Passo 2

Um teste que pode ser facilmente aplicado é o teste da Comparação, nesse caso temos de ter uma série “mais simples”, mas que tenha uma certa semelhança à série da questão, logo, concorda que podemos utilizar?

∑ k = 1 ∞ 1 3 k                 ( 1 )

Sabendo que a série (1) diverge, a série dada na questão também diverge pelo teste da comparação.

Passo 3

Para validarmos se a série é realmente divergente, aplicamos um segundo teste, desta vez, usaremos o Teste da Séries Alternadas, uma vez que a série tem o número negativo elevado à um expoente variável, - 1 k + 1 .

Nesse teste, vamos avaliar que a sequência é convergente se a série satisfaz dois critérios:

  • Se:
  • a k = 1 3 k         >       a k + 1 = 1 3 ( k + 1 )

  • E também:

1 3 k   = 0

Logo, temos uma série que converge pelo Teste das séries Alternadas.

Como cada teste teve uma resposta diferente, podemos dizer que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

Condicionalmente convergente

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