Combinação linear

Sejam u = i - 2j, v = 2i + 3j, e w = i + j . Escreva u = u_1 + u_2 , em que u₁ é paralelo a v e u₂ é paralelo a w. (Veja o exercício 41).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e a geometria do espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre teoria e aplicações de vetores e geometria espacial.

Inicialmente vamos substituir os vetores na expressão pedida:

u = a v + b w = > i - 2 j = a 2 i + 3 j + b i + j

Usando a propriedade distributiva teremos:

i - 2 j = 2 a i + 3 a j + b i + b j

Igualando os coeficientes de cada lado da equação, temos que:

i = 2 a + b i   e - 2 j = 3 a + b j

Passo 2

As relações obtidas podem ser reescritas em um sistema de equações:

2 a + b = 1 3 a + b = - 2

Multiplicando a primeira equação por -1:

- 2 a - b = - 1 3 a + b = - 2

Que nos dá:

a = - 3   e   2 - 3 + b = 1 = > b = 1 + 6 = 7

Daí temos que:

u 1 = a 2 i + 3 j = - 3 2 i + 3 j = - 6 i - 9 j

u 2 = b i + j = 7 i + j = 7 i + 7 j

E o vetor pedido é escrito como:

u = - 6 i - 9 j + 7 i + 7 j

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

u = - 6 i - 9 j + 7 i + 7 j