Começando no instante t = 0, água fresca é bombeada na

vazão de 11 L/min em um tanque de 227 L inicialmente

cheio de salmoura. A cada vez menos salgada mistura

resultante transborda na mesma vazão para um tanque de

227 L que continha apenas água pura, e daí por fim escorre

para o solo. Considerando uma mistura perfeita nos dois

tanques, quando a água terá, no segundo tanque, um gosto

mais salgado? E exatamente qual será o seu teor de sal em

comparação com a salmoura original?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1   g a l   =   3,78541   L

Seja x(t) a massa de sal no primeiro tanque no instante t. Supondo que a massa inicial seja x(0) = x0, usamos o modelo matemático descrito pela equação (1) na página 90 do texto para encontre x(t). Podemos determinar a concentração de sal no primeiro tanque dividindo x(t) pelo seu volume, isto é, x(t)/60 kg/gal. Observe que o volume de salmoura neste tanque permanece constante porque a vazão de entrada é a mesma que a vazão de saída. Então

t a x a   d e   s a i d a 1   = 3 ( x ( t ) 60   )   =   x ( t ) 20   k g / m i n

Como o líquido que entra é água pura, concluímos que

d x d t   -   t a x a   d e   e n t r a d a 1   -   t a x a   d e   s a í d a   =   - x 20 ,   x ( 0 ) = x 0

Esta equação é linear e separável. Resolvendo e usando a condição inicial para avaliar a

constante arbitrária, encontramos

Agora, seja y(t) a massa de sal no segundo tanque no instante t. Como inicialmente este tanque continha apenas água pura, temos y(0) = 0. A função y(t) pode ser descrita pela mesma

modelo matemático. Nós temos

t a x a   d e   e n t r a d a 2   =   t a x a   d e   s a í d a 1   =   x ( t ) 20   =   x 0 20 e - t / 20 k g / m i n

Além disso, como o volume do segundo tanque também permanece constante, temos

t a x a   d e   s a i d a 2   =   3 y ( t ) 60   =   y ( t ) 20   k g / m i n

Portanto, y(t) satisfaz o problema de valor inicial

d y d t   =   t a x a   d e   e n t r a d a 2     -   t a x a   d e   s a i d a 2     =   x 0 20 e - t / 20 - y ( t ) 20 ,   y ( 0 )   =   0

d y d t + y ( t ) 20   =   x 0 20 e - t / 20 ,   y ( 0 )   =   0

Passo 2

Esta é uma equação linear na forma padrão. Usando o método dado na página 51 do texto,

encontre a solução geral para ser

y ( t )   =   x 0 20 t e - t / 20 + C e - t / 20

A constante C pode ser encontrada a partir da condição inicial

Portanto, y ( t )   =   ( x 0 / 20 ) t e - t / 20 . Para investigar y(t) para o valor máximo, calculamos

Passo 3

Desta forma

que é o ponto de máximo global (observe que dy/dt > 0 para t

t > 20). Em outras palavras, neste momento a água do segundo tanque terá o sabor mais salgado, e comparando as concentrações, será

vezes mais salgado que a salmoura original.

Resposta

Resposta nos passos.