Começando no instante t = 0, água fresca é bombeada na
vazão de 11 L/min em um tanque de 227 L inicialmente
cheio de salmoura. A cada vez menos salgada mistura
resultante transborda na mesma vazão para um tanque de
227 L que continha apenas água pura, e daí por fim escorre
para o solo. Considerando uma mistura perfeita nos dois
tanques, quando a água terá, no segundo tanque, um gosto
mais salgado? E exatamente qual será o seu teor de sal em
comparação com a salmoura original?
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Seja x(t) a massa de sal no primeiro tanque no instante t. Supondo que a massa inicial seja x(0) = x0, usamos o modelo matemático descrito pela equação (1) na página 90 do texto para encontre x(t). Podemos determinar a concentração de sal no primeiro tanque dividindo x(t) pelo seu volume, isto é, x(t)/60 kg/gal. Observe que o volume de salmoura neste tanque permanece constante porque a vazão de entrada é a mesma que a vazão de saída. Então
Como o líquido que entra é água pura, concluímos que
Esta equação é linear e separável. Resolvendo e usando a condição inicial para avaliar a
constante arbitrária, encontramos
![]()
Agora, seja y(t) a massa de sal no segundo tanque no instante t. Como inicialmente este tanque continha apenas água pura, temos y(0) = 0. A função y(t) pode ser descrita pela mesma
modelo matemático. Nós temos
Além disso, como o volume do segundo tanque também permanece constante, temos
Portanto, y(t) satisfaz o problema de valor inicial
Passo 2
Esta é uma equação linear na forma padrão. Usando o método dado na página 51 do texto,
encontre a solução geral para ser
A constante C pode ser encontrada a partir da condição inicial

Portanto,. Para investigar y(t) para o valor máximo, calculamos

Passo 3
Desta forma

que é o ponto de máximo global (observe que dy/dt > 0 para t
t > 20). Em outras palavras, neste momento a água do segundo tanque terá o sabor mais salgado, e comparando as concentrações, será

vezes mais salgado que a salmoura original.
Resposta
Resposta nos passos.