O comprador de uma casa não pode gastar mais de R $ 800,00 por mês pelo seu financiamento. Suponha que a taxa de juros e de 9% a o a n o e que o financiamento é em 20 anos . Suponha que os juros são capitalizados continuamente e que os pagamentos também sao feitos continuamente.

(a) Determine a quantia maxima que esse comprador pode financiar.

(b) Determine os juros totais pagos durante o financiamento.

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Neste exercício vamos relembrar uma coisa importante. A quantidade de dinheiro S(t) que o comprador tem que pagar muda no tempo devido a dois fatores:

1. Juros compostos.

2. Seus pagamentos contínuos

Até aí tudo bem?

Outras importantes análises serão as taxa.

1. A taxa de crescimento para composição é r S

2. A taxa de decaimento devido aos pagamentos contínuos é K

Tranquilo?

Bora lá começar então!

Escrevendo a equação levando em consideração as taxas teremos que:

d S d t = r S - K

Isolando K da equação vamos obter :

d S d t - r S = - K

Vamos parar um pouco para deixar uma coisinha clara!

Esta é uma EDO linear não homogênea de primeira ordem, então ela pode ser resolvida multiplicando ambos os lados por um fator de integração que chamarei de I

I = e x p ⁡ ( ∫ - r d s =   e - r t

Então vamos multiplicar ambos os lados por esse fator de integração. Beleza!

d S d t - r S = - K

d S d t e - r t - r S e - r t = - K e - r t

Aplicando a regra do produto no lado esquerdo da equação para facilitar minha vida e reescrevendo minha queridinha, ela ficará assim:

d d t S e - r t = - K e - r t

Agora vamos resolver nossa linda equação diferencial integrando ambos lados.

∫ S e - r t   d t = ∫ - K e - r t d t

S e - r t = K R e - r t + C

Dividindo ambos os lados por     e - r t , teremos que :

S ( t ) = K R + C e r t

Até aí tranquilo?

Quase acabando continua por aqui, beleza!

Aplicando a condição inicial S 0 =   R $ 800,00   a o   m ê s   o u   R $   9600   a o   a n o ou seja fazendo t = 0   , vamos obter nossa constante de integração C :

S ( 0 ) = K R + C e r . 0

S 0 = K R + C . 1

9600 = K R + C

9600 -   K R =   C

Aplicando o valor de C na linda equação diferencial teremos:

S ( t ) = K R + 9600 -   K R e r t

Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!

Passo 2

Agora vamos ter que encontrar a quantidade de dinheiro S ( t ) quando a R ( taxa de juros ) for igual a 9% (0,09) ao ano . Mas uma vez usaremos a linda EDO.

S ( t ) = K R + 9600 -   K R e r t

S ( t ) = K 0,09 + 9600 -   K 0,09 e 0,09   t

Como o financiamento é realizado com um tempo de 20 anos, temos que S ( t )   =   0   e   t   =   20

S ( t ) = K 0,09 + 9600 -   K 0,09 e 0,09   t

0 = K 0,09 + 9600 -   K 0,09 e 0,09   .   20  

0 = K 0,09 1 - e 1,8     + 9600 e 1,8  

0 = K 0,09 1 - 6,04   + 9600 .   6,04

0 = K 0,09 - 5,04   + 58076,61

- 58076,61 = K 0,09 - 5,04  

- 58076,61 = K - 5,04  

- 58076,61 - 5,04 = K

K ≈ R $   1037,08   a o   m ê s o u   R $ 12444,98   a o   a n o

Passo 3

Neste item (b) vamos encontrar o juros pago durante o financiamento, beleza!

Bora lá colocar a mão na massa!

O valor de k   é quanto o comprador tem que pagar por ano (ou mês). Para os 20 anos de financiamento, ele paga um total de cerca de:

R $ 12444,98   a o   a n o   x   20   a n o s   d e   f i n a n c i a m e n t o  

O valor total durante esse tempo será:

R $   248899,6

Visto que ele só pode pagar R $   800,00   X   20   a n o s

R $   16000   (   s e m   j u r o s   )

Logo o juros pago por financiar seu imóvel será:

R $   248899,6 - R $ 16000 = R $   232899,6  

Ufa essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

(a) K ≈ R $   1037,08   a o   m ê s o u   R $ 12444,98   a o   a n o

(b)   R $   232899,6