O comprador de uma casa não pode gastar mais de por mês pelo seu financiamento. Suponha que a taxa de juros e de e que o financiamento é em . Suponha que os juros são capitalizados continuamente e que os pagamentos também sao feitos continuamente.
(a) Determine a quantia maxima que esse comprador pode financiar.
(b) Determine os juros totais pagos durante o financiamento.
Passo 1
Saudações galerinha! Tudo bem?
Neste exercício vamos relembrar uma coisa importante. A quantidade de dinheiro S(t) que o comprador tem que pagar muda no tempo devido a dois fatores:
1. Juros compostos.
2. Seus pagamentos contínuos
Até aí tudo bem?
Outras importantes análises serão as taxa.
1. A taxa de crescimento para composição é
2. A taxa de decaimento devido aos pagamentos contínuos é
Tranquilo?
Bora lá começar então!
Escrevendo a equação levando em consideração as taxas teremos que:
Isolando da equação vamos obter :
Vamos parar um pouco para deixar uma coisinha clara!
Esta é uma EDO linear não homogênea de primeira ordem, então ela pode ser resolvida multiplicando ambos os lados por um fator de integração que chamarei de

Então vamos multiplicar ambos os lados por esse fator de integração. Beleza!
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo da equação para facilitar minha vida e reescrevendo minha queridinha, ela ficará assim:
Agora vamos resolver nossa linda equação diferencial integrando ambos lados.
Dividindo ambos os lados por , teremos que :
Até aí tranquilo?
Quase acabando continua por aqui, beleza!
Aplicando a condição inicial ou seja fazendo , vamos obter nossa constante de integração C :
Aplicando o valor de na linda equação diferencial teremos:
Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!
Passo 2
Agora vamos ter que encontrar a quantidade de dinheiro quando a ( taxa de juros ) for igual a 9% (0,09) ao ano . Mas uma vez usaremos a linda EDO.
Como o financiamento é realizado com um tempo de 20 anos, temos que
Passo 3
Neste item (b) vamos encontrar o juros pago durante o financiamento, beleza!
Bora lá colocar a mão na massa!
O valor de é quanto o comprador tem que pagar por ano (ou mês). Para os 20 anos de financiamento, ele paga um total de cerca de:
O valor total durante esse tempo será:
Visto que ele só pode pagar
Logo o juros pago por financiar seu imóvel será:
Ufa essa foi longa!
Te vejo na próxima questão!
Resposta
(a)
(b)