Comprimento do arco:

Determine o comprimento da curva y = ln(cos(x)), 0 ≤ x ≤ π/3

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que a curva a ser calculada é:

y = ln ⁡ cos ⁡ x

Sabemos também que para calcular o comprimento de curva é de modo:

C = ∫ a b y ' 2 + 1   d x

Passo 2

Assim, a derivada de y = ln ⁡ cos ⁡ x é dada por:

d d x ( ln ⁡ cos ⁡ x = 1 cos ⁡ x - s e n x = - tan ⁡ x

Assim temos:

C = ∫ 0 π 3 - tan ⁡ x 2 + 1   d x =

C = ∫ 0 π 3 tan 2 ⁡ x + 1   d x

Passo 3

Sabemos que:

tan 2 ⁡ x + 1 = | sec 2 ⁡ x |  

C = ∫ 0 π 3 sec 2 ⁡ x   d x =

∫ 0 π 3 sec ⁡ x   d x

Temos pela regra de integração que:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Assim:

C = ∫ 0 π 3 sec ⁡ x d x = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 0 π 3 =

ln ⁡ 2 + 3

Resposta

ln ⁡ 2 + 3