Enunciado

Confirme que é uma função potencial de F ( r ) em alguma região e determine a região.

a   ∅ x ,   y =   a r c   t g   x y

F x ,   y =   y 1 + x 2 y 2 i + x 1 + x 2 y 2 j  

Passo 1

Vamos resolver mais uma questão, galera!

É importante lembrar da definição 15.1.3 “Dizemos que um campo vetorial F do espaço bi ou tridimensional é conservativo em uma região se for o campo gradiente de alguma função φ naquela região ou seja, se

F   = ∇ ∅

A função φ é denominada uma função potencial de F na região.”

Onde:

∇ ∅ ( x , y ) =   ∂ ∅ ∂ x i   + ∂ ∅ ∂ y j  

Passo 2

Então vamos começar.

F x , y = ∇ ∅ x , y = ∂ ∅ ∂ x i   + ∂ ∅ ∂ y j   = y 1 + x 2 y 2 i + x 1 + x 2 y 2 j  

Lembrando da regra da derivada relacionada a a r c   t g :

y =   a r c   t g   u → y ' = u ' 1 + u 2

Então

F ( x , y )   = y 1 + x 2 y 2 i + x 1 + x 2 y 2 j  

O que indica que é uma função potencial de F ( r ) em todos os x   e   y .

Resposta

é uma função potencial de F ( r ) em todos os x   e   y .

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