Confirme que é uma função potencial de F(r) em alguma região e determine a região.

(b) ∅(x, y, z) = x sen z + y sen x + z sen y

F(x, y, z) = (sen z + y cos x) i + (sen x + z cos y) j

+k (sen y + x cos z)

Passo 1

Vamos resolver mais uma questão, galera!

É importante lembrar da definição 15.1.3 “Dizemos que um campo vetorial F do espaço bi ou tridimensional é conservativo em uma região se for o campo gradiente de alguma função φ naquela região ou seja, se

F   = ∇ ∅

A função φ é denominada uma função potencial de F na região.”

Onde:

∇ ∅ ( x , y , z ) =   ∂ ∅ ∂ x i   + ∂ ∅ ∂ y j   + ∂ ∅ ∂ z k

Passo 2

Então vamos começar.

F x , y , z = ∇ ∅ x , y , z = ∂ ∅ ∂ x i   + ∂ ∅ ∂ y j   + ∂ ∅ ∂ z k = s e n z + y c o s x i + ( s e n x + z c o s y ) j   + ( x c o s z + s e n y ) k

Então

F ( x , y , z )   = s e n z + y c o s x i + ( s e n x + z c o s y ) j   + ( x c o s z + s e n y ) k

O que indica que é uma função potencial de F ( r ) em todos os x ,   y   e   z .

Resposta

é uma função potencial de F ( r ) em todos os x ,   y   e   z .