Conforme indicado nesta seção, a separação da Equação (2)

na página 29 exige divisão por p(y), e isso pode disfarçar o

fato de que as raízes da equação p(y) = 0 na realidade são

soluções constantes para a equação diferencial

(a) Para explorar isso ainda mais, separe a equação

(b) Mostre que y ≡ −1 satisfaz a equação original

(c) Mostre que não existe escolha da constante C que fará a solução no item (a) gerar a solução y ≡ −1. Assim, perdemos a solução y ≡ −1 quando dividimos por

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. d y d x   =   ( x - 3 ) ( y + 1 ) 2 3
  2. 1 ( y + 1 ) 2 3   d y   =   ( x - 3 )   d x

    ∫ 1 ( y + 1 ) 2 3   d y   =   ∫ ( x - 3 )   d x

    O RHS pode ser integrado de forma direta, para o LHS, usaremos o método de U-Substitution, onde,

    ∫ 1 ( y + 1 ) 2 3   d y

    u   =   y   + 1   →   d y   =   d u

    ∫ 1 ( y + 1 ) 2 3   d y   =   ∫ 1 u 2 3   d u

    = ∫ u - 2 3   d u

    = 3 u 1 3

    = 3 u 3

    = 3 y + 1 3

    então,

    ∫ 1 ( y + 1 ) 2 / 3   d y   =   ∫ ( x - 3 )   d x

    3 y + 1 3 = x ² 2 - 3 x   +   C 1

    y + 1 3   =   x ² 6 - x + C

    y + 1   =   ( x ² 6 - x + C ) 3

    y   =   - 1   +   ( x ² 6 - x   +   C ) 3

    Passo 2

  3. y ≡ - 1
  4. d y d x   =   ( x - 3 ) ( y + 1 ) 2 3

    d ( - 1 ) d x =   ( x - 3 ) ( - 1 + 1 ) 2 3

    0 = 0

    concluímos que y≡−1 satisfaz a equação original

  5. y   =   - 1   +   ( x ² 6 - x + C ) 3

- 1   =   - 1   +   ( x ² 6 - x + C ) 3

- 1 + 1 = ( x ² 6 - x + C )

0   =   x ² 6 - x + C

Aqui podemos concluir que y≢−1, porque temos um polinômio quadrático o que significa que não há escolha de um C constante que possa torná-lo identicamente 000, pois como sabemos um polinômio quadrático polinômio tem no máximo duas raízes.

Resposta

  1. y   =   - 1   +   ( x ² 6 - x + C ) 3
  2. y   ≡ 1
  3. y   ≠   - 1