Considerar o gráfico da função f definida pela equação f(x) = x^2 + a * x + b , em que a e b são constantes

  1. Determinar o declive da corda unindo os pontos do gráfico para os quais x = x₁ e x = x₂ .
  2. Determinar, em função de x₁ e x₂ , todos os valores de x para as quais a tangente em (x, f(x)) tem o mesmo declive que a corda da alínea a).

Passo 1

O nosso probleminha do item a) é o seguinte, nós temos a equação

f x = x 2 + a x + b

E vamos reescrevê-la em função de x 1 e x 2 , assim:

f ( x 1 )   =   x 1 2   +   a x 1   +   b  

f ( x 2 )   =   x 2 2   +   a x 2   +   b

Passo 2

E a partir daqui nós valos aplicar a seguinte relação:

f x 2 - f x 1 x 2 - x 1

E aqui já ficou moleza, basta desenvolver a equação

x 2 2 - x 1 2 + a x 2 - x 1 x 2 - x 1 = x 2 + x 1 + a

E prontinho essa é a equação do inclinação da corda que unem os pontos do gráfico para x 1 e x 2 .

Passo 3

E continuando a questão para resolvermos nosso queridíssimo item b), aqui nós buscamos um valor de x da equação. Bom no item a) nos achamos a inclinação da reta, mas vou ter contar um segredo... poderíamos ter encontrado a inclinação de outra forma: derivando a função, assim:

f ' = 2 x + a

Ou seja, nós podemos igualar essa equação que acabamos de obter com a do item a)

2 x + a = x 2 + x 1 + a

Portanto, temos que as tangentes têm a mesma inclinação quando x equivale à:

x = x 2 + x 1 2

E... pode comemorar porque nós já finalizamos essa questão !

Resposta

a )   x 2 + x 1 + a   ;

b )   x = x 2 + x 1 2