Considere um circuito LCR em série com um gerador de corrente alternada de força eletromotriz E(t) = E0 * sen(w0 * t), onde E0 e w0 são constantes não-nulas. Sabe-se da física que a carga q = q(t) no capacitor é governada pela equação

L(d^2 q / d^2 t) + R(dq / dt) + (1 / C) q = E₀ * sen(w₀ t),

Onde L é a indutância, C a capacitância e R a resistência, sendo L, C, e R supostas constantes positivas. Determine a solução de estado permanente.

Passo 1

Primeiramente, vamos colocar a EDL na forma padrão:

Dividindo por L :

d 2 q d t 2 + R L d q d t + 1 L C   q = E 0 L sin ⁡ w 0 t

Adotando w 2 = 1 L C   , E 1 = E 0 L   e   2 γ = R L

d 2 q d t 2 + 2 γ d q d t + w 2 q = E 1   s i n ⁡ ( w 0 t )

Dessa forma fica mais evidente que temos uma EDL de 2ºgrau e não-homogênea; dessa forma a solução geral será:

q t = q h t + q p t

Onde q h é a parte homogênea da solução, e naturalmente, q p a solução particular da equação.

Passo 2

Considerando a seguinte equação auxiliar:

m 2 + 2 γ   m + w 2 = 0

∆ = 4 γ 2 - 4 w 2

E

m = - 2 γ ± 4 γ 2 - 4 w 2 2

Temos duas raízes:

m 1 = - γ + γ 2 - w 2       e     m 2 = - γ - γ 2 - w 2

Então nossa solução homogênea:

q h t = C 1 e m 1 t + C 2 e m 2 t

Passo 3

Para a solução particular, uma vez que g t = E 0   s i n ⁡ ( w 0 t ) é uma função trigonométrica, esperamos que a solução também seja, portanto podemo propor:

q p t = A c o s w 0 t + B s i n ( w 0 t )

De onde obtemos:

q p ' t = - w 0 A sin ⁡ w 0 t + w 0 B cos ⁡ w 0 t

E

q p ' ' t = - w 0 2 A cos ⁡ w 0 t - w 0 2 B sin ⁡ w 0 t

Substituindo na equação original(EDL) e simplificando:

A w 2 + B   2 γ w 0 - w 0 2 A cos ⁡ w 0 t + B w 2 - A 2 γ w 0 - B w 0 2 sin ⁡ w 0 t = E 0   s i n ⁡ ( w 0 t )

Relacionando ambos os lados da igualdade:

A w 2 + B   2 γ w 0 - A w 0 2 = 0 B w 2 - A 2 γ w 0 - B w 0 2 = E 0

Obtemos:

A = - E 0   2 γ w 0 w 2 - w 0 2 2 + 4 γ 2 w 0 2

B = E 0 w 2 - w 0 2 w 2 - w 0 2 2 + 4 γ 2 w 0 2

Portanto nossa solução particular será:

q p t = E 0 w 2 - w 0 2 2 + 4 γ 2 w 0 2 w 2 - w 0 2 sin ⁡ w 0 t - 2 γ w 0 cos ⁡ w 0 t

Resposta

A solução permanente também é chamada de solução de estado permanente, portanto ;

q p t = E 0 w 2 - w 0 2 2 + 4 γ 2 w 0 2 w 2 - w 0 2 sin ⁡ w 0 t - 2 γ w 0 cos ⁡ w 0 t

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