Considere a equação diferencial
a) Uma curva solução passa pelo ponto (1, π/2). Qual é sua inclinação nesse ponto?
b) Demonstre que cada curva solução está aumentando para x > 1.
c) Mostre que a segunda derivada de cada solução satisfaz
d) Uma curva solução passa por (0, 0). Prove que essa curva tem um mínimo relativo em (0, 0).
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
a) Insira o ponto dado em dy/dx.
b) Se x > 1, o número adicionado a x terá sempre um valor absoluto menor que x. Portanto, dy/dx será sempre maior que 0. , então x > 1 então . Se o curva solução está aumentando, a derivada em cada ponto da curva será positiva.
Passo 2
c) Quando você diferenciar dy/dx em relação a y, a resposta conterá dy/dx, que é dado. Conecte isso e distribua o cos(y) usando a identidade
colocando , nós temos que
realizando a distributiva
usando a identidade podemos rearranjar para
Passo 3
d) O teste da 2ª derivada afirma:
Se a 2ª derivada é positiva no ponto crítico, então a função tem um mínimo local neste ponto.
Se a 2ª derivada é positiva no ponto crítico, então a função tem um máximo local neste ponto.
Realizando o teste da 2ª derivada, provamos que a curva tem um mínimo em (0,0).
No ponto (0,0),
Portanto, (0,0) é um ponto crítico. Usando o teste da segunda derivada para determinar onde a um máximo ou mínimo local :
No ponto (0,0) ,
Desde que , esse ponto é um minimo local.
Resposta
Resposta nos passos.