Considere a equação diferencial

dy/dx = x + sen(y)

a) Uma curva solução passa pelo ponto (1, π/2). Qual é sua inclinação nesse ponto?

b) Demonstre que cada curva solução está aumentando para x > 1.

c) Mostre que a segunda derivada de cada solução satisfaz d²y / dy² = 1 + x cos y + (1/2) seno 2y

d) Uma curva solução passa por (0, 0). Prove que essa curva tem um mínimo relativo em (0, 0).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) Insira o ponto dado em dy/dx.

d y d x   =   1   +   s i n ( π 2 )   =   2

b) Se x > 1, o número adicionado a x terá sempre um valor absoluto menor que x. Portanto, dy/dx será sempre maior que 0. - 1   ≤   s i n   y   ≤   1 , então x > 1 então d y d x > 0 . Se o curva solução está aumentando, a derivada em cada ponto da curva será positiva.

Passo 2

c) Quando você diferenciar dy/dx em relação a y, a resposta conterá dy/dx, que é dado. Conecte isso e distribua o cos(y) usando a identidade

d ² y d x ²   =   d d x ( d y d x )   =   d d x ( x   +   s i n   y )

d d x ( x   +   s i n   y )   =   1   +   c o s   y   ( d y d x )

colocando d y d x , nós temos que 1   +   c o s   y   ( x   +   s i n   y )

realizando a distributiva d ² y d x ²   =   1   +   x c o s   y   +   c o s   y   s i n   y  

usando a identidade s i n   2 y = 2 c o s   y   s i n   y podemos rearranjar para 1 2 s i n   y   =   s i n   y   c o s   y  

d ² y d x ²   =   1   + x   c o s   y   +   1 2 s i n   2 y

Passo 3

d) O teste da 2ª derivada afirma:

Se a 2ª derivada é positiva no ponto crítico, então a função tem um mínimo local neste ponto.

Se a 2ª derivada é positiva no ponto crítico, então a função tem um máximo local neste ponto.

Realizando o teste da 2ª derivada, provamos que a curva tem um mínimo em (0,0).

No ponto (0,0), d y d x = 0 +   s i n ( 0 )   =   0

Portanto, (0,0) é um ponto crítico. Usando o teste da segunda derivada para determinar onde a um máximo ou mínimo local :

No ponto (0,0) , d ² y d x ²   =   1   +   c o s ( 0 )   +   1 2 s i n ( ( 2 ) ( 0 ) )   =   1

Desde que d ² y d x ²   > 0 , esse ponto é um minimo local.

Resposta

Resposta nos passos.