Considere a equação diferencial de primeira ordem

d y d x + p y = q

em que p e q são constantes. Se y = y(x) for uma solução dessa equação, defina u = u(x) = q − py(x).

(a) Sem resolver a equação diferencial, mostre que u cresce exponencialmente como uma função de x se p

(b) Use o resultado da parte (a) e as Equações (13 e 14) da Seção 8.2 para resolver o problema de valor inicial

d y d x + 2 y = 4                     ,           y 0 = - 1

Passo 1

Essa questão parece complicada pois inicialmente não utiliza número, mas nós vamos entender de um jeito bem simples.

O primeiro passo consiste em compreender que a equação diferencial dada tem valores constantes de “q” e “p” e que, se y = y(x) for uma solução é possível definir u = u(x) = q − py(x).

Passo 2

a) Começamos colocando a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, arrumam-se os termos:

d y d x = q - p y                 ( 1 )

Depois nós vamos fazer separação de variáveis na segunda equação com a equação diferencial.

u x = q - p y x       →       d u d x = - p d y d x

Para associar as duas equações, podemos substituir o valor de d y d x obtido na relação (1)

d u d x = - p q - p y x                 ( 2 )

E por fim, podemos associar u(x) na relação (2):

d u d x = - p * u x                 ( 3 )

Observando a equação (3) obtida, percebemos que u cresce exponencialmente se p

Passo 3

d y d x + 2 y = 4                     ,           y 0 = - 1

Para resolver a letra b), utilizaremos a mesma estratégia da letra a), assim temos:

d y d x = 4 - 2 y     →     d u d x = - p d y d x     →   d u d x = - 2 d y d x    

S e           u x = 4 - 2 y       →     d u d x = - 2   u ( x )

Aplicando y 0 = - 1 em u x = 4 - 2 y , temos:

u 0 = 4 - 2 - 1         →             u 0 = 6

O valor de u(0) vai ser substituído na equação (14) citada no comando que sugere que:

u x = u 0 * e - 2 x         →         u x = 6   e - 2 x

Para relacionar u(x) e y(x), temos que lembrar que d y d x = u ( x ) , logo a equação para o problema de valor inicial é:

6   e - 2 x = 4 - 2 y         →       2 y = 4 - 6   e - 2 x       →       y = 2 - 3   e - 2 x

Resposta

a ) A   e q u a ç ã o   c r e s c e   e x p o n e n c i a l m e n t e ,   p o i s   u   c r e s c e   s e   p < 0   n a   e q u a ç ã o   d u d x = - p * u x

b )   y = 2 - 3   e - 2 x