Considere a equação diferencial de primeira ordem
em que p e q são constantes. Se y = y(x) for uma solução dessa equação, defina u = u(x) = q − py(x).
(a) Sem resolver a equação diferencial, mostre que u cresce exponencialmente como uma função de x se p
(b) Use o resultado da parte (a) e as Equações (13 e 14) da Seção 8.2 para resolver o problema de valor inicial
Passo 1
Essa questão parece complicada pois inicialmente não utiliza número, mas nós vamos entender de um jeito bem simples.
O primeiro passo consiste em compreender que a equação diferencial dada tem valores constantes de “q” e “p” e que, se y = y(x) for uma solução é possível definir u = u(x) = q − py(x).
Passo 2
a) Começamos colocando a equação no modelo: , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, arrumam-se os termos:
Depois nós vamos fazer separação de variáveis na segunda equação com a equação diferencial.
Para associar as duas equações, podemos substituir o valor de obtido na relação (1)
E por fim, podemos associar u(x) na relação (2):
Observando a equação (3) obtida, percebemos que u cresce exponencialmente se p
Passo 3
Para resolver a letra b), utilizaremos a mesma estratégia da letra a), assim temos:
Aplicando em , temos:
O valor de u(0) vai ser substituído na equação (14) citada no comando que sugere que:
Para relacionar u(x) e y(x), temos que lembrar que , logo a equação para o problema de valor inicial é: