Considere a equação diferencial do tipo

dy / dx = f(ax + by + c)

em que f é uma função de uma variável. Se y = y(x) for uma solução dessa equação diferencial, defina u = u(x) = ax + by(x) + c.

(a) Encontre uma equação diferencial separável que seja satisfeita pela função u.

(b) Use sua resposta da parte (a) para resolver

dy/dx = 1 / (x + y)

Passo 1

O primeiro passo para resolver essa questão consiste em compreender que a equação diferencial dada tem valores constantes de “a” e “b” e “c”, além de que, se y = y(x) for uma solução é possível definir u = ax+by(x)+c .

d y d x = 1 x + y

Passo 2

Para começarmos a manipular a equação, vamos fazer algumas afirmações: *   d y d x = f ( a x + b y + c )

*   u ( x )   =   a x   +   b y ( x )   +   c

*   d y d x = f ( u )

Assim, a derivada de u, é:

d u d x   =   d d x a x + b y + c     =       a + b d y d x       =       a + b   f u       →       d u d x * 1     a + b   f u = 1                   ( 1 )

Passo 3

  1. Para resolvermos a letra b), utilizaremos a resposta da a), sendo a=b=1, c=0 e f t = 1 t , teremos:

1 1 + 1 x + y   d u d x = 1

Se u=x+y :

1 1 + 1 u   d u d x = 1         →           u u + 1 d u = d x           ( 2 )

Fazemos o método de Separação de Variáveis na equação (2), assim:

∫ u u + 1 d u = ∫ 1   d x         →         u - l o g l o g   u + 1   = x + C

Substituímos u=x+y:

x + y - l o g l o g   x + y + 1   = x + C

Resposta

a ) d u d x * 1     a + b   f u = 1

b )   u - l o g l o g   u + 1   = x + C