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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 10.11 - Ex. 23

Considere a equação

P x ,   y d y + Q x ,   y d x = 0

Mostre que a mudança de variáveis

x = ρ cos ⁡ θ   y = ρ sin ⁡ θ

Transforma a equação acima em

1 ρ d ρ + g ρ cos ⁡ θ ,   ρ sin ⁡ θ d θ = 0

Onde

g x ,   y = Q x ,   y x - P x ,   y y P x ,   y + Q x ,   y

Passo 1

Bem, sabemos que a nossa equação é essa

P x ,   y d x + Q x ,   y d y = 0

E queremos chegar nessa outra equação aqui:

1 ρ d ρ + g ρ cos ⁡ θ ,   ρ sin ⁡ θ d θ = 0

Pra isso, a gente pode começar transformando o d x e o d y em d ρ e d θ , não concorda?

Passo 2

Bem, a gente pode chegar nessas mudanças

x = ρ cos ⁡ θ

y = ρ sin ⁡ θ

O d x pode ser então calculado derivando a função em relação com relação a ρ e a θ :

d x = ∂ ∂ ρ ρ cos ⁡ θ d ρ + ∂ ∂ θ ρ cos ⁡ θ d θ       →

d x = cos ⁡ θ d ρ + - ρ sin ⁡ θ d θ

Enquanto que o d y pode ser determinado de sua expressão de forma análoga:

d y = ∂ ∂ ρ ρ sin ⁡ θ d ρ + ∂ ∂ θ ρ sin ⁡ θ d θ       →

d y = sin ⁡ θ d ρ + ρ cos ⁡ θ d θ

Beleza, então agora é só substituir na nossa expressão:

P x ,   y d x + Q x ,   y d y = 0 →

P x ,   y cos ⁡ θ d ρ + - ρ sin ⁡ θ d θ + Q x ,   y sin ⁡ θ d ρ + ρ cos ⁡ θ d θ = 0

Multiplicando isso aí:

P x ,   y cos ⁡ θ d ρ + P x ,   y - ρ sin ⁡ θ d θ + Q x ,   y sin ⁡ θ d ρ + Q x ,   y ρ cos ⁡ θ d θ = 0   →

Juntando o que é d θ com d θ e d ρ com d ρ ...

P x ,   y cos ⁡ θ + Q x ,   y sin ⁡ θ d ρ + P x ,   y - ρ sin ⁡ θ + Q x ,   y ρ cos ⁡ θ d θ = 0   →

P x ,   y cos ⁡ θ + Q x ,   y sin ⁡ θ d ρ + ρ Q x ,   y cos ⁡ θ - P x ,   y sin ⁡ θ d θ = 0   →

Dividindo agora todo mundo pelo primeiro colchetes...

d ρ + ρ Q x ,   y cos ⁡ θ - P x ,   y sin ⁡ θ P x ,   y cos ⁡ θ + Q x ,   y sin ⁡ θ d θ = 0   →

Bem como por ρ ...

1 ρ d ρ + Q x ,   y cos ⁡ θ - P x ,   y sin ⁡ θ P x ,   y cos ⁡ θ + Q x ,   y sin ⁡ θ d θ = 0   →

Veja que estamos quase chegando na expressão que queremos provar, neh? Só falta mais um passo!

Passo 3

Vamos trabalhar agora só com a expressão:

Q x ,   y cos ⁡ θ - P x ,   y sin ⁡ θ P x ,   y cos ⁡ θ + Q x ,   y sin ⁡ θ

Lembrando que...

x = ρ cos ⁡ θ   y = ρ sin ⁡ θ

Podemos multiplicar a expressão por ρ e dividir ao mesmo tempo de forma a não alterar o resultado:

ρ Q x ,   y cos ⁡ θ - P x ,   y sin ⁡ θ ρ P x ,   y cos ⁡ θ + Q x ,   y sin ⁡ θ     →

Então...

Q x ,   y ρ cos ⁡ θ - P x ,   y ρ sin ⁡ θ P x ,   y ρ cos ⁡ θ + Q x ,   y ρ sin ⁡ θ     →

Que é justamente a nossa função g :

g x ,   y = Q x ,   y x - P x ,   y y P x ,   y x + Q x ,   y y

Saca?

Então de fato...

1 ρ d ρ + g ρ cos ⁡ θ ,   ρ sin ⁡ θ d θ = 0

Essa igualdade é verdadeira!

Resposta

Questão de demonstração.

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