Considere equações diferenciais de segunda ordem da forma y" = f(y, y') , na qual a variável independente não aparece explicitamente. Se definirmos v = y' , obtemos dv/dt = f(y, v) . Como a expressão à direta do sinal de igualdade depende de y e v, em vez de t e v, e essa função contem variáveis demais. No entanto, se pensarmos em y como sendo a variável independente, pela regra da cadeia termos dv/dt = (dv/dy)(dy/dt) = v(dv/dy) . Portanto a equação original pode ser escrita v(dv/dy) = f(y, v) Se essa função de primeira ordem puder ser resolvida, obtemos v como função de y. então podemos obter uma relação entre y e t resolvendo dy / dt = v(y) , que é uma equação separável. Novamente, o resultado final contem duas constate arbitraria. Em cada um dos problemas de 42 a 47, use esse método para resolver a equação diferencial dada.

46)

y * y' - y'^3 = 0

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Seguiremos então o método explicado no anuncio, achar a EDO de primeira ordem e resolvê-la.

Passo 2

Dado que:

y ' = v ( y )

E:

y ' ' = v y v ' ( y )

Podemos fazer na equação:

y v ' v - v 3 = 0

v d v = v 3 y   d y

d v v 2 = 1 y d y

∫ d v v 2 = ∫ 1 y   d y =

- 1 v = ln ⁡ y + C 1

v = - 1 ln ⁡ y + C 1

Passo 3

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v y = - 1 ln ⁡ y + C 1

d y d t = - 1 ln ⁡ y + C 1

d y ln ⁡ y + C 1 = - 1 d t

∫ d y ln ⁡ y + C 1 = ∫ - 1 d t   =

y ln ⁡ y - 1 + C 1 y + = - t + C 2

Resposta

y ln ⁡ y - 1 + C 1 y + = - t + C 2