Considere que c > 0 . Mostre que a função ϕ(x) = (c^2 - x^2)^(-1) é uma solução para o problema de valor inicial dy/dx = 2*x*y^2 , y(0) = 1 / c^2 , no intervalo -c < x < c . Observe que essa solução se torna ilimitada quando x aproxima-se de ±c . Assim, a solução existe no intervalo (-δ, δ) com δ = c , mas não para delta maior. Isso ilustra que, no Teorema 1, o intervalo de existência pode ser muito pequeno (se c for pequeno) ou muito grande (se c for grande). Observe também que não existe uma dica da própria equação dy/dx = 2x * y^2 , ou do valor inicial, de que a solução “estoura” em x = ± c .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Nesta questão, vamos manipular a solução e fazer algumas interpretações, o enunciado assusta, mas a resolução será rápida!! Vem comigo.

Passo 2

O enunciado fala que a solução é:

ϕ x = 1 ( c 2 - x 2 )

E que o valor inicial é y 0 = 1 / c 2 .

ϕ 0 = 1 c 2 - 0 2

ϕ 0 = 1 c 2

Então, a solução cumpre a condição inicial.

Vamos verificar se ela é solução da EDO agora.

ϕ x = 1 ( c 2 - x 2 )

ϕ ' x = 2 x c 2 - x 2 - 2

Substituindo na EDO.

d y d x = 2 x y 2

2 x c 2 - x 2 - 2 = 2 x 1 c 2 - x 2 2

2 x c 2 - x 2 - 2 = 2 x c 2 - x 2 - 1 2

2 x c 2 - x 2 - 2 = 2 x c 2 - x 2 - 2

0 = 0

Então, nós concluímos que a função realmente é solução para o PVI abaixo:

d y d x = 2 x y 2 ,     y 0 = 1 / c 2

Resposta

A função é solução para o PVI no intervalo.