Enunciado

Considere que c > 0 . Mostre que a função ϕ x = c 2 - x 2 - 1 é uma solução para o problema de valor inicial d y / d x = 2 x y 2 , y 0 = 1 / c 2 , no intervalo - c < x < c . Observe que essa solução se torna ilimitada quando x aproxima-se de ± c . Assim, a solução existe no intervalo ( - δ , δ ) com δ = c , mas não para δ maior. Isso ilustra que, no Teorema 1, o intervalo de existência pode ser muito pequeno (se c for pequeno) ou muito grande (se c for grande). Observe também que não existe uma dica da própria equação d y / d x = 2 x y 2 , ou do valor inicial, de que a solução “estoura” em x = ± c .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Nesta questão, vamos manipular a solução e fazer algumas interpretações, o enunciado assusta, mas a resolução será rápida!! Vem comigo.

Passo 2

O enunciado fala que a solução é:

ϕ x = 1 ( c 2 - x 2 )

E que o valor inicial é y 0 = 1 / c 2 .

ϕ 0 = 1 c 2 - 0 2

ϕ 0 = 1 c 2

Então, a solução cumpre a condição inicial.

Vamos verificar se ela é solução da EDO agora.

ϕ x = 1 ( c 2 - x 2 )

ϕ ' x = 2 x c 2 - x 2 - 2

Substituindo na EDO.

d y d x = 2 x y 2

2 x c 2 - x 2 - 2 = 2 x 1 c 2 - x 2 2

2 x c 2 - x 2 - 2 = 2 x c 2 - x 2 - 1 2

2 x c 2 - x 2 - 2 = 2 x c 2 - x 2 - 2

0 = 0

Então, nós concluímos que a função realmente é solução para o PVI abaixo:

d y d x = 2 x y 2 ,     y 0 = 1 / c 2

Resposta

A função é solução para o PVI no intervalo.