Considere novamente o problema de valor inicial ( 16 ) do Exemplo 2 . Investigue o quão pequeno tem que ser o tamanho do passo h para garantir que o erro em t = 0,05 e em t = 0,1 seja menor do que 0,0005 .

a) Use o método de Euler.

c Use o método de Runge-Kutta.

c) Use o método de Euler inverso.

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Primeiramente vamos relembrar a formula de Euler:

x n + 1 y n + 1 = x n y n + h - t n x n - y n - 1 x n

Comparando essas matrizes podemos extrair nossas equações:

x n + 1 = x n + h ( - t n x n - y n - 1 )

y n + 1 = x n + h ( x n )

Com h=0.1 podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Até aí tranquilo?

Bora continuar então!

Passo 2

O método Runge-Kutta usa os seguintes cálculos intermediários:

k n = (   - t n x n -   y n - 1 ,   x n ) T

k n 2 = [ - t n + h 2 x n + h 2 k n 1 2 - 1 ,   x n + h 2 k n 1 1 ] T

k n 3 = [ - t n + h 2 x n + h 2 k n 2 2 - y n + h 2 k n 2 2 - 1 ,   x n + h 2 k n 2 1 ] T

k n 4 = [ - t n + h x n + h k n 3 1 - y n + h k n 3 2 - 1 ,   x n + h k n 3 1 ] T

Com h=0.1 podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Passo 3

Com o método de Euler invertido devemos tirar a matriz inversa advindas do método de Euler.

Com h=0.1 podemos encontrar os valores das variáveis e organizar em uma tabela:

Te vejo na próxima questão!

Resposta

a)

b)

c)