Considere um peso de 50 N suspenso por dois fios, conforme mostra a figura a seguir. Se a magnitude do vetor F1 é 35 N, encontre o ângulo α e a magnitude do vetor F2.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e a geometria do espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre teoria e aplicações de vetores e geometria espacial.

Analisando o enunciado, temos que:

F 1 = - 35 cos ⁡ α ,   35 s e n   α ;   F 2 = F 2 cos ⁡ 60 ° ,   F 2 s e n   60 ° = F 2 2 ,   F 2 3 2

P = 0 ,   - 5 0

Realizando a soma dos vetores, temos que:

0 ,   - 5 0 = - 35 cos ⁡ α ,   35 s e n   α + F 2 2 ,   F 2 3 2

Para o eixo x:

F 2 2 + - 35 cos ⁡ α = 0 = > 35 cos ⁡ α = F 2 2 = > F 2 = 70 cos ⁡ α

Para o eixo y:

F 2 3 2 + 35 s e n   α = - 5 0 = > F 2 3 = - 1 00 - 70 s e n   α

Substituindo o resultado do eixo x na equação do eixo y teremos:

70 3 cos ⁡ α = - 100 - 70 s e n   α

Elevando a equação ao quadrado de ambos os lados:

490 0 ∙ 3 cos 2 ⁡ α = 10000 - 14000 s e n   α + 4900 s e n 2   α

= > 14700 1 - s e n 2   α = 10000 - 14000 s e n   α + 4900 s e n 2   α

= > 14700 - 14700 s e n 2   α = 10000 - 14000 s e n   α + 4900 s e n 2   α

= > 19600 s e n 2   α - 14000 s e n   α - 4700 = 0

= > 196 s e n 2   α - 140 s e n   α - 47 = 0

Passo 2

Resolvendo a equação do segundo grau para o seno de α:

s e n   α = - - 140 ± - 140 2 - 4 ∙ 1 96 ∙ ( - 47 ) 2 ∙ 196 = 140 ± 56448 392

Daí, temos:

s e n   α = 140 + 56448 392 ≅ 0,9632 = > α = a r c   s e n   0,9632 ≅ 74,41 °

  o u   s e n   α = 140 - 56448 392 ≅ - 0 , 5704 = >   α = a r c   s e n   - 0,5704 ≅ - 3 4 , 78 °

Substituindo os resultados na equação do eixo x:

F 2 = 70 cos ⁡ 74,41 ° ≅ 18,81   N   o u   F 2 = 70 cos ⁡   - 34,78 ° ≅ 57,49   N

Passo 3

Para verificarmos se os dois pares de respostas são válidos, podemos substituir os resultados nas equações iniciais:

F 2 2 ± 35 cos ⁡ α = 0 = > 18,81 2 - 35 ∙ cos ⁡ 74,41 ° ≅ 0

F 2 3 2 +     35 s e n   α = - 50 = > - 18,81 3 2 + 35 s e n   74,41 ° ≅ - 50

E:

F 2 2 ± 35 cos ⁡ α = 0 = > 57,49 2 - 35 ∙ cos ⁡ - 34,78 ° ≅ 0

F 2 3 2 +     35 s e n   α = - 50 = > - 57,49 3 2 + 35 s e n   - 34,78 ° ≅ - 29,82

Logo, o segundo par de respostas obtidas não é válido.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

α = 74,41 °   e   F 2 = 18,81   N