Considere um peso de w N suspenso por dois fios no diagrama, em que T1 → e T₂ → são vetores de força direcionados ao longo dos fios.

a.Encontre os vetores T1 → e T₂ → e demonstre que suas magnitudes são:

|T|_1 = (w * cos(β)) / (sen(α + β))

e

|T|₂ = (w cos α) / (sen(α + β))

b. Para um beta fixo, determine o valor de alpha que minimiza a magnitude | T → |₁ .

c. Para um alpha fixo, determine o valor de beta que minimiza a magnitude | T → |₂ .

Passo 1

E aí, pessoal! Como é que vão as coisas? Que bom, então vem comigo para a gente detonar mais uma questão!

a. O enunciado pede para determinar mostrar que

| T → 1 | = w   c o s   β s e n   ( α + β )

e

| T → 2 | = w   c o s   α s e n   ( α + β )

Para isso, temos que usar as equações de equilíbrio das forças em x e y :

x : T 1   c o s   α = T 2   c o s   β    

y : T 1   s e n   α + T 2   s e n   β = w    

Da primeira equação, temos

T 1 = T 2   c o s   β c o s   α  

Vamos substituir esse resultado na segunda equação e resolver para T 2 :

T 2   c o s   β c o s   α   s e n   α + T 2   s e n   β = w ⇒   T 2 c o s   α ( c o s β   s e n   α + s e n   β c o s β ) = w

⇒   T 2 c o s   α s e n   ( α + β ) = w ⇒ T 2 = w   c o s   α s e n   ( α + β )

Só falta substituir esse resultado em

T 1 = T 2   c o s   β c o s   α   =   w   c o s   α s e n   ( α + β ) c o s   β c o s   α = w   c o s   β s e n   ( α + β )  

Legal, né? Então, vamos pros próximos itens!

Passo 2

b. Agora temos que fixar β para determinar o valor de α que minimiza a magnitude | T → 1 | . Para isso, temos que derivar em relação a α e igualar a zero para obter os pontos de extremo. Depois, temos que derivar novamente, substituir os pontos de extremos e verificar se a segunda derivada é positiva. Bora lá!

Primeira derivada:

d d α w   c o s   β s e n   ( α   +   β ) = w   c o s   β ⋅ - 1 s e n 2   ( α   +   β ) ⋅ c o s ( α + β ) = 0

⇒ c o s β c o s ( α + β ) = 0 ⇒ c o s β = 0   o u   c o s ( α + β ) = 0

Como β é fixo e o que varia é α , então vamos descartar a primeira opção. Assim,

c o s ( α + β ) = 0 ⇒ α + β = π / 2 ⇒ α = π / 2 - β

A segunda derivada tem que ser positiva para o ponto ser de mínimo

d d α - c o s   ( α + β ) s e n 2   ( α + β ) ⋅ w   c o s   β = - w   c o s   β   d d α c o s   ( α + β ) s e n 2   ( α + β )

⇒ - w   c o s   β   - s e n   ( α + β )   ⋅   s e n 2   ( α + β )   -   2 s e n   ( α + β ) ⋅ c o s   ( α + β ) c o s   ( α + β ) s e n 4   ( α + β )

⇒ w   c o s   β s e n 2   ( α + β )   +   2 c o s 2   ( α + β ) s e n 3   ( α + β )

⇒ d 2 d α 2 | T → 1 | = w   c o s   β 1   +   c o s 2     ( α + β ) s e n 3   ( α + β )

Agora a gente substitui α = π / 2 - β e vê se a segunda derivada é positiva para ter o ponto de mínimo:

w   c o s   β 1   +   c o s 2     ( π / 2 ) s e n 3   ( π / 2 ) = w   c o s   β

Como w > 0 e 0 < β < π / 2 , então w   c o s   β > 0 . Assim, α = π / 2 - β é o ângulo que minimiza | T → 1 | . Ou seja, para saber o ângulo α que minimiza | T → 1 | , precisamos de β .

Passo 3

c. Esse item é muito parecido com o anterior, então, vamos calcular as derivadas em relação a β :

d d α | T → 2 | = d d α w   c o s   α s e n   ( α + β ) = 0 ⇒ w   c o s   α ⋅ - 1 s e n 2   ( α + β ) ⋅ c o s ( α + β ) = 0

⇒   c o s ( α + β ) = 0 ⇒   β = π / 2 - α

A segunda derivada dá quase a mesma coisa do item anterior (só precisamos trocar c o s   β por c o s   α ):

w   c o s   α 1   +   c o s 2     ( α + β ) s e n 3   ( α + β )

Para   β = π / 2 - α , temos

d 2 d α 2 | T → 2 | = w   c o s   α 1   +   c o s 2     ( π / 2 ) s e n 3   ( π / 2 ) = w   c o s   α > 0

pois 0 < α < π / 2 , então 0 < c o s   α < 1 . Assim,   β = π / 2 - α minimiza | T → 2 | .

Gostou desta resolução? Responde Aí, vai!

Resposta

a. ver a resolução acima

b. α = π / 2 - β

c.   β = π / 2 - α